Frauen- bzw. Männeroptimale Hochzeit

zusammen
folgende Aufgabenstellung: Die Männer u1, u2, u3 und die Frauen v1, v2 und v3 haben folgende Präferenzen:
u1: v3, v2, v1
u2: v1, v3, v2
u3: v1, v2, v3

v1: u3, u2, u1
v2: u2, u3, u1
v3: u2, u1, u3
Laut Klausurlösung gibt es hier nur ein optimales Matching, das sowohl frauen- als auch männeroptimal ist: u1v2, u2v3, u3v1.
Das verstehe ich nicht. In dieser Lösung bekommen 2 Männer ihre zweite. Präferenz und ein Mann die erste Präferenz. Von den Frauen bekommen zwei Frauen die erste Präferenz und eine die dritte Präferenz (siehe fettgedrucktes Matching).
Warum ist dieses optimal?
Ich hatte folgende Lösungen raus: Männeroptimal: u1v3, u2v1, u3v2 (kursives Matching). Demnach hätten zwei Männer ihre erste Präferenz und nur einer seine zweite.
Frauenoptimal: v1u3, v2u2, v3u1 (kursives Matching). Demnach hätten zwei Frauen ihre erste Präferenz und nur eine die zweite Präferenz.
Dies sieht für mich optimaler aus als die Musterlösung.
Wo ist mein Denkfehler?
Danke und Gruß
Fini

Fini,

eigentlich ist das ganz einfach, du musst nur die Präferenzen durch gehen.

1. Schritt
u1 macht v3 einen Antrag
u2 macht v1 einen Antrag
u3 macht v1 einen Antrag

Ergebnis:
v3 - nimmt Antrag an, weil sie erstmal keinen besseren Antrag bekommen hat und nicht alleine sterben möchte.
v1 - ist in der glücklichen Lage, dass sie gleich 2 Anträge bekommen hat und kann sich so zwischen u2 und u3 entscheiden. Da u3 ihre 1. Präferenz ist entscheid sie sich für ihn und u2 ist noch solo.

Stand nach dem 1. Schritt:
u1 verlobt mit v3
u2 solo
u3 verlobt mit v1 - dies ist bereits optimal, da keiner der beiden jemand anderes besser findet (1. Präferenz von u3 und v1)

2. Schritt
u2 ist ja noch Solo und macht sich nun auf eine Partnerin zu finden, da der Antrag seiner 1. Präferenz ja abgelenht wurde. Plötzlich trifft er in der Stadt v3, sie unterhalten sich. Er denkt sich, die wäre die Richtige und macht ihr einen Antrag (2. Präferenz).
v3 lösst die Verlobung mit v1 und nimmt den Antrag von u2 an, damit ist u1 wieder solo.

Stand nach dem 2. Schritt:
u1 solo
u2 verlobt mit v3 - optimal, da keiner der beiden jemand anderes besser findet
u3 verlobt mit v1 - optimal

3. Schritt
u1 möchte aber nicht solo bleiben und hat gehört, dass v2 noch solo ist, da sie ja bis jetzt von niemanden einen Antrag bekommen hat.
Also verlobt sich u1 nun mit v2.

Stand nach dem 3. Schritt:
u1 verlobt mit v2 - optimal, klar ist u1 leider nur die 3. Präferenz von v2 aber wenn sie kein anderer will, muss sie sehen was über bleibt
u2 verlobt mit v3 - optimal
u3 verlobt mit v1 - optimal

Da alle Beteiligten volkswirtschaftlich denken, wird eine 3fach-Hochzeit veranstaltet, um Kosten zu sparen.

Somit heiraten:
u1v2
u2v3
u3v1

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Das war jetzt aus Sicht der Männer und ist somit männeroptimal. Wenn du nun das Ganze aus Sicht der Frauen durchführst, solltest du auf das selbe kommen. Daher frauen- als auch männeroptimal. 🙂

Hoffe konnte helfen.

Gruß
Enrico

aaaaaaaaaaaaaah ok, dann hatte ich da einen Denkfehler! Ich dachte bei männeroptimal müsse ich ausschließlich die Präferenzen der Männer berücksichtigen und bei frauenoptimal nur die der Frauen. Jetzt ist es klar - danke, Enrico!