Funktionen Ableitung Grenzwert

@Annett,

naja mit der Nebenrechnung hat er die Nullstellen der Funktion ermittelt!

am besten du skizzierst dir die Funktion mal und dann wirst du sehen, das bei 1 und -1 die funktion 2 "ecken". Das besondere daran ist, das wenn du dich auf der Funktion von links einer Ecke näherst, dann hast du eine negative Steigung und von rechts kommend eine positive Steigung. Dann ist die Funktion in diesem Punkt nicht differenzierbar.

Gruß
Uwe

Achja und bei ableitungen werden zahlen nicht einfach weggelassen, sondern es gibt regeln, die man anwenden muß.

Vielleicht gibtst du mal ein Beispiel, an dem du es nicht verstehst!

Gruß

Uwe

Uwe - danke für deine Antwort.

Hab die Funktion aufgezeichnet hier und und die Nullstellen sind da wo sie sein sollen bei -1 und 1
kann ich ablesen und kann ich berechnen und was fang ich dann damit an? bzw. wie geht es dann weiter?
Wann existiert ein Grenzwert und wann nicht?

Annett

Vereinfacht ausgedrückt existiert ein Grenzwert dann, wenn die Funktion keinen Knick hat. Und die von Dir angegebene Funktion hat bei -1 und +1 einen Knick, ist dort also nicht differenzierbar.

Ok verstanden , wie mache ich das dann jetzt rechnerisch? von links und von rechts? hab ich immer 2 verschiedene ergebnisse, die Formel zum ausrechnen hab ich hier stehn, aber mir ist noch nicht ganz klar wie ich anhand der ergebnisse sehen kann ob es nun einen grenzwert gibt oder nicht, muss ich die Funktion dann immer aufzeichnen um das sehen zu können?

wenn jetzt als Beispiel die Funktion nicht als Betragsfunktion sondern als
f(x)=x²-1 stehen würde - hätte sie ja auch bei 1 und -1 die Nullstellen - würde aber keinen Knick machen richtig? So hätte sie dort auch Grenzwerte richtig? wie kann ich das aber anhand der Berechnung rauskriegen ? Hilfe 😕

das ist komplettes neuland für mich und ich muss mich da irgendwie durchfragen 😀

Danke
Grüßle
Annett

Klara schrieb:

Vereinfacht ausgedrückt existiert ein Grenzwert dann, wenn die Funktion keinen Knick hat.

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Du meinst die Ableitung. Der Grenzwert existiert auch an Knickstellen: [tex]\lim_{x\rightarrow 0} |x| = 0[/tex].

netere schrieb:

Achja und dann noch bei Ableitungen - die Zahlen die da einfach so in der Funktion stehen werden einfach weggelassen bei der Ableitung - warum - wer hat die gefressen? Und kann man das immer so machen?

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Guck mal im Skript unter "Ableitungsregeln" folgende Zeile

Für die konstante Funktion f mit
f (x) = c, x Î Df, c Î R, gilt f ' (x) = 0, x Î Df 11.2.01

Deswegen werden die Zahlen bei der Ableitung weggelassen (weil sie zu 0 werden).
Grüße, Tanja

@Tanja - danke 😀

@all:
ja was denn nun? ohne Knick mit Knick *hilfe* ich bin doch völlig ahnungslos

ich kann den Grenzwert anhand einer Formel berechnen - aber ich kann mit dem ergebnis nix anfangen - bzw. ich kann nicht unterscheiden - warum ich in meiner Gleichung bei Xo=2 einen Grenzwert von 4 habe mit nur einer Rechnung, aber bei dem Punkt Xo=1 ein Ergebnis von 2 und dann bei einer 2.ten Rechnung mit umgekehrten Vorzeichen ein -2 habe und anhand dessen erkennen soll, das sie nicht differenzierbar ist -
da muss es also noch irgendeine Werteinschränkung oder definition geben oder? die mir sagt von da bis da gehts und von da bis da nicht oder?

Grüßle
Annett

chris* schrieb:

Du meinst die Ableitung. Der Grenzwert existiert auch an Knickstellen: [tex]\lim_{x\rightarrow 0} |x| = 0[/tex].

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Ja klar, war schon etwas spät gestern. 😱

Ist denn keiner hier der mir erklären kann was der grenzwert mir überhaupt sagen soll - ich kapiere es einfach nicht - rechnen ok - aber verstehen nein.....

Grüßle
Annett

@Annett,

ich verweise nochmals auf mein Posting. Hast du die Zeichnung gemacht?

Wenn du dich dann Richtung einer "ecke" bewegst, kannst du es von links bzw. von rechts tun.

Wenn du von links kommst, hast du eine negative Steigung und wenn du von rechts kommst, eine positive.
d.h. linksseitige Grenzwert ist negativ - rechtsseitige ist positiv!

Ergo: Funktion ist in diesem Punkt nicht differenzierbar! (ob mann dann auch sagt, es existiert kein Grenzwert - müsste ich in der Definition nachsuchen) - ist m.E. aber auch nicht wirklich wichtig!

Gruß

Uwe

Vollbi schrieb:

@Wenn du dich dann Richtung einer "ecke" bewegst, kannst du es von links bzw. von rechts tun.

Wenn du von links kommst, hast du eine negative Steigung und wenn du von rechts kommst, eine positive.
d.h. linksseitige Grenzwert ist negativ - rechtsseitige ist positiv!

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Du meinst die linksseitige und rechtsseitige Ableitung. Der Grenzwert einer Funktion hat mit der Steigung nichts zu tun. Der Grenzwert hängt mit der Stetigkeit (genauer: stetigen Fortsetzbarkeit) zusammen udn existiert insbesondere auch an "Ecken".

Ja die Zeichnung hab ich gemacht und sehe die "Knicke" und kann es Anhand deiner Erklärung etwas besser nachvollziehen - was gemeint ist

herzliches :danke:!

Also da es hier scheinbar unterschiedliche Ansichten gibt und ich absolut überhaupt keine Ahnung hab fang ich nochmal so an für mein Verständniss:

Definition Grenzwert:
Der Grenzwert einer Funktion an Punkt X() gibt an....................
bzw. er wird berechnet damit man was weiss?


Definition Ableitung:
Die Ableitung einer Funktion beudeutet/zeigt an......................
die wird berechnet um was zu wissen?


jetzt nicht nur ahnungslose sondern auch verwirrte 😕
Grüße
Annett

Steht das nicht in eurem Script? Erklären kann ichs bei Verständnisproblemen immer noch, aber jetzt hier irgendwelche Definitionen hinzuschreiben ist mir ehrlich gesagt zu blöd.

netere schrieb:

also da es hier scheinbar unterschiedliche Ansichten gibt und ich absolut überhaupt keine Ahnung hab fang ich nochmal so an für mein Verständniss:

Definition Grenzwert:
Der Grenzwert einer Funktion an Punkt X() gibt an....................
bzw. er wird berechnet damit man was weiss?


Definition Ableitung:
Die Ableitung einer Funktion beudeutet/zeigt an......................
die wird berechnet um was zu wissen?


jetzt nicht nur ahnungslose sondern auch verwirrte 😕
Grüße
Annett

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Also:

Der Grenzwert einer Funktion gibt an, wie sich die Funktion in Richtung auf Unendlich bzw. in Richtung einer Nullstelle verhält. Dadurch kann man also zum Beispiel sagen, ob die Funktion sich im Grenzwert einem bestimmten Punkt annähert oder auch ins Unendliche geht. Daraus kann man desweiteren auch Aussagen über die Stetigkeit der Funktion treffen (steigend, sinkend)

Die Ableitung einer Funktion ist die Spiegelung der Ursprungsfunktion an der 45° Geraden. Sie braucht man um Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte zu bestimmen. Das erreicht man, indem man die Ableitung null setzt.

Kurz gesagt, man kann durch Ableitung(en) und Grenzwertbestimmungen graphische Augenscheinlichkeiten auch mathematisch ausrechnen...oder so

natürlich steht es im Script! - aber ich kann kein chinesisch 😀

Mir geht es nicht darum das ich irgendeine Definition für Ableitung und Grenzwert hab - sondern das ich einfach nicht verstehe was das sein soll und mir anhand einer einfachen Erklärung (Definition) die Interpretation meiner ausgerechneten Ableitung möglich ist

so in der Art Apfel=Obst

Ableitung = Veränderung von y bei Änderung von x .... oder so
Grenzwert = Annäherung der Funktion am betrachteten Punkt X(o) =2 ..... oder so ähnlich

magst du es mir nicht in einfachen worten erklären

Dankeschön und Grüßle
Annett

Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle ist der Wert, dem die Funktionswerte zustreben, wenn du dich dieser Stelle auf der x-Achse näherst. Gibt es dabei aus verschiedenen Richtungen oder verschiedener Arten der Annäherung unterschiedliche Ergebnisse, existiert der Grenzwert nicht. Wichtig ist noch, dass der Wert, den die Funktion an der Stelle selbst hat, keine Rolle spielt.

Bei einer stetigen Funktion ist überall der Grenzwert gleich dem Funktionswert (das ist manchmal auch die Definition der Stetigkeit.)

Linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert sind dasselbe, außer dass dabei nur Annäherung von links bzw. rechts betrachtet wird. Es kann durchaus sein, dass links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, aber verschieden sind. Dann gibt es "den" Grenzwert nicht.

Der Grenzwert kann auch + oder -unendlich sein, wenn die Funktionswerte bei der Annäherung an eine Stelle (oder auch gegen unendlich) unbegrenzt wachsen bzw. fallen.

Ableitung: Die Änderungsrate der Funktion an einer Stelle. Geometrisch die Steigung der Tangente an einem Punkt. Das ist ebenfalls ein Grenzwert, nämlich der Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Ableitung setzt die Stetigkeit der Funktion voraus. Andersrum kann eine Funktion stetig sein (und daher auch überall einen Grenzwert haben), aber nicht überall eine Ableitung haben, wie das Beispiel [tex]|x|[/tex] zeigt: Im Punkt 0 ist der Grenzwert auch 0, aber die Steigung ist links von der Null -1 und rechts von der Null +1, hat also dort einen Sprung, d.h. die Ableitung existiert nicht.

In dem was CptChaos geschrieben hat ist leider einiges falsch. Das, was man erhält, wenn man den Funktionsgraphen an der 45°-Linie spiegelt ist die Umkehrfunktion (bei einer umkehrbaren Funktion natürlich nur), nicht die Ableitung. Und die Stetigkeit hat mit steigendem und fallendem Verhalten nichts zu tun.

Danke für diese ausführliche und verständliche Erklärung :dankescho-

Hupps 🙂 Da hat chris* natürlich völlig Recht. Ich beschreibe mit der Spiegelung an der 45° Linie die Umkehrfunktion, nicht die Ableitung.

Man sollte Erklärungen abgeben, wenn man noch geistig voll auf der Höhe ist 🙂

Sorry!