Gleichung Natürlicher Logarithmus

Der Wert für x, der die Gleichung erfüllt, ist gesucht.

ln 14 + ln 27/25 - ln 42/20 + 1/3 * ln 125/8 - ln 18 = x

Lässt sich das irgendwie vereinfachen? Wie wird die Aufgabe berechnet?
Habe zwar zwei Lösungsansätze, aber die möchte ich hier lieber nicht kundtun 😉.

Du kannst zunächst die Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen und dann die Resultate zusammenfassen.
Andere Möglichkeit wäre, Rechenregeln des Logarithmus verwenden, Argumente entsprechend zusammenfassen und am Schluss den logarithmus berechnen.

Ivanhoe schrieb:

Du kannst zunächst die Logarithmen mit dem Taschenrechner berechnen und dann die Resultate zusammenfassen.
Andere Möglichkeit wäre, Rechenregeln des Logarithmus verwenden, Argumente entsprechend zusammenfassen und am Schluss den logarithmus berechnen.

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Da ich das Ergebnis ohne TR ermitteln möchte, wäre ich Dir sehr verbunden, wenn Du auf diese Lösungsmöglichkeit ausführlicher eingehen würdest.

kathleen schrieb:

Der Wert für x, der die Gleichung erfüllt, ist gesucht.

ln 14 + ln 27/25 - ln 42/20 + 1/3 * ln 125/8 - ln 18 = x

Lässt sich das irgendwie vereinfachen? Wie wird die Aufgabe berechnet?

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Das ist doch ganz einfach! Du brauchst nur folgende Logarithmen-Regeln:

[tex]
\ln a + \ln b = \ln \left( a \cdot b \right) \\
\ln a - \ln b = \ln \left( \frac a b \right) \\
a \cdot \ln b = \ln b^a
[/tex]

Damit erhälst Du:

[tex]
\ln \left( 14 \cdot \frac{27}{25} \cdot \frac{20}{42} \cdot \left( \frac{125}{8} \right)^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{18} \right) = x \\
\ln (1) = x \\
x = 0
[/tex]

Wie Du siehst, habe ich in der ersten Zeile statt 42/20 den Kehrwert eingesetzt. Dies liegt daran, daß der zugehörige Logarithmus mit einem Minus-Zeichen versehen war. Ebenso ist mit dem letzten Term 18 <--> 1/18 verfahren worden. Das 1/3 ln(125/8) liefert die dritte Wurzel aus 125 durch dritte Wurzel 8 - das kann man im Kopf, es ist 5/2. Somit steht auf der linken Seite (nach geschicktem Kürzen oder eben kurz zum Prüfen in den TR eingegeben) nur noch ln(1). Damit muß x gleich null sein...

Vielen Dank, das hast Du super erklärt!!