Grenzrate der Substitution 2 Wege zur Ermittlung

Christoph86 schrieb:

bei der Quotientenregel hänge ich... Im Zähler müssten irgendwie 15 und im Nenner 25 rauskommen. Im Zähler habe ich r2*r1 - r1*r2*1... Wo ist der Fehler?

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M = r1 * r2

A. "Isoquantenmethode":

Es ist r2 = M/r1 also

GRS2,1
= dr2/dr1
= -M/r1^2
= - (r1*r2)/r1^2 .... // M einsetzen
= -r2/r1

Oder mit Quotientenregel:

dr2/dr1
= M * d(1/r1)/dr1
= M * (0 * r1 - 1 * 1)/r1^2
= -M/r1^2

Beachte: M ist keine Variable, nach der abgeleitet wird, sondern eine Konstante (beliebiger aber fester Wert)

B. "Totales Differential = 0"

GRS2,1
= dr2/dr1
= - (M/dr1) / (M/dr2)
= - (r1*r2/dr1) / (r1*r2/dr2)
= -r2/r1

A und B liefern das gleiche Ergebnis: GRS2,1 = -r2/r1

Liebe Grüße

Totales Differenzial

Hi Leute,
wäre ja froh, wenn ich soweit gekommen wäre.
Kann mir einer mal bitte das totale Differenzial erläutern? Habe das wenn ich ehrlich bin noch nie gehört. Ableitungen bis zur dritten Ableitung - alles ok - aber das ????
Danke schon mal

Christoph86 schrieb:

a) Was habe ich mit den 3/5 ermittelt? Wenn ein r1 mehr wird, wird r2 um 3/5 kleiner? Aber die Substitution verläuft doch nicht konstant...

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GRS2,1 =-r2/r1 ist die Steigung der Isoquante im Punkt (r1, M/r2)

Nur im Punkt (r1=5, r2=3) ist die GRS2,1 = -3/5

Allgemein ist im Punkt (r1,r2) der Isoquante die GRS2,1 = -r2/r1

Betrachten wir das Paar (r1=5, r2=3), so wird damit die Ausbringungsmenge M = 5 * 3 = 15 erzeugt, die Isoquante auf die dieses Paar liegt lautet also

r2
= M/r1
= 15/r1

Wenn sich nun ausgehend von (r1=5, r2=3) r1 um ein kleines epsilon vergrössert, muss sich r2 um epsilon * 3/5 verringern, damit weiterhin die Ausbringungsmenge 15 erzeugt wird, wobei 3/5 nur der Grenzwert ist, d.h. wenn epsilon gegen 0 geht, also wirklich sehr sehr (marginal, infinitesimal) klein wird.

Beispiel:

r1' = 5 + 0,001 (kleine Änderung epsilon = 0,001)

r2'
= 15 / r1'
= 15 / (5 + 0,001)
= 2,9994001199760047990401919
= 3 - 0,00059988002
= r2 - 3/5 * 0,001 (näherungsweise, noch nicht ganz)

Liebe Grüße

Barono schrieb:

Hi Leute,
wäre ja froh, wenn ich soweit gekommen wäre.
Kann mir einer mal bitte das totale Differenzial erläutern? Habe das wenn ich ehrlich bin noch nie gehört. Ableitungen bis zur dritten Ableitung - alles ok - aber das ????
Danke schon mal

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Das totale Differential in einem Punkt ist die Summe aller partiellen Ableitungen einer Funktion mit mehreren Variablen, d.h. die Summe aller Funktionswertänderungen durch marginale Variablenwertänderungen. Bei den hier betrachteten Produktionsfunktionen in zwei Variablen (Faktoren r1 und r2) besteht die Summe also aus zwei Summanden, nämlich der partiellen Ableitung der Produktionsfunktion nach dem einen Faktor und der partiellen Ableitung der Produktionsfunktion nach dem zweiten Faktor.

Weil alle Faktoreinsatzmengenkombinationen auf einer Isoquante stets dieselbe Ausbringungsmenge erzeugen, d.h. die marginalen Änderungen der Faktoren (in einem beliebigen Punkt auf der Isoqante) sich gegenseitig aufheben, ist das totale Differential der beiden Faktoren auf der Isoquante stets 0.

Liebe Grüße

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten.
So und wenn ich jetzt r2 erhöhen will, z.B. um 4, dann muss ich r1 um die ("umgekehrte") GRS nämlich -5/3*4 verringern. Ist das richtig?

MfG

ChrissiLLB schrieb:

GRS2,1 =-r2/r1 ist die Steigung der Isoquante im Punkt (r1, M/r2)

Nur im Punkt (r1=5, r2=3) ist die GRS2,1 = -3/5

Allgemein ist im Punkt (r1,r2) der Isoquante die GRS2,1 = -r2/r1

Betrachten wir das Paar (r1=5, r2=3), so wird damit die Ausbringungsmenge M = 5 * 3 = 15 erzeugt, die Isoquante auf die dieses Paar liegt lautet also

r2
= M/r1
= 15/r1

Wenn sich nun ausgehend von (r1=5, r2=3) r1 um ein kleines epsilon vergrössert, muss sich r2 um epsilon * 3/5 verringern, damit weiterhin die Ausbringungsmenge 15 erzeugt wird, wobei 3/5 nur der Grenzwert ist, d.h. wenn epsilon gegen 0 geht, also wirklich sehr sehr (marginal, infinitesimal) klein wird.

Beispiel:

r1' = 5 + 0,001 (kleine Änderung epsilon = 0,001)

r2'
= 15 / r1'
= 15 / (5 + 0,001)
= 2,9994001199760047990401919
= 3 - 0,00059988002
= r2 - 3/5 * 0,001 (näherungsweise, noch nicht ganz)

Liebe Grüße
Chrissi

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Christoph86 schrieb:

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten.
So und wenn ich jetzt r2 erhöhen will, z.B. um 4, dann muss ich r1 um die ("umgekehrte") GRS nämlich -5/3*4 verringern. Ist das richtig?

MfG

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Nein, beachte die GRS2,1 = -3/5 oder umgekehrt die GRS1,2 = -5/3 gilt nur im Punkt (r1 = 5, r2 = 3) der Isoquante zu M = 15.

Wenn Du r2 um 4 erhöhen willst und dabei die Ausbringungsmenge unverändert 15 sein soll, brauchst Du keine "Marginalrechnung":

r2' = r2 + 4 = 3 + 4 = 7

Dazu gehört r1' = 15/7, denn

r1' * r2' = 15/7 * 7 = 15

D.h. das Faktorpaar (r1 = 15/7 ; r2 = 7) liegt auch auf der Isoquante zur Ausbringungsmenge M' = 15 zur Produktionsfunktion M = r1 * r2, denn es ist 15/7 * 7 = 15.

Im Punkt (r1 = 15/7 ; r2 = 7) ist die GRS1,2 = -r1/r2 = -(15/7)/7 = 15/49, d.h. in (r1 = 15/7 ; r2 = 7) gilt, dass eine marginale Erhöhung von r2 = 7 um ein epsilon gegen 0 zu einer Verringerung von r1 um 15/49 des epsilons führt (auf der Isoquante, d.h. bei Erhalt der Ausbringungsmenge 15).

Wieder näherungsweise: epsilon = 0,0001

r2' = 7 + 0,0001 (kleine Änderung epsilon = 0,0001)

r1'
= 15 / r2'
= 15 / (7 + 0,0001)
= 2,142826643104955
= 15/7 - 0,00003049975218
= r1 - 15/49 * 0,0001 (näherungsweise, noch nicht ganz)

Nehme bitte die Tatsache ernst, dass die GRS eben nicht konstant, sondern in jedem Punkt (r1, r2) der Isoquante verschieden ist, nämlich -r2/r1 bzw. -r1/r2.

Die GRS1,2 gibt "nur" das marginale Austauscherverhältnis in einem Punkt (r1, r2) an, d.h. sie gibt an, wie sich r1 ändert, wenn sich r2 um einen marginalen (infinitesimal kleinen) Wert epsilon gegen 0 vergrößert (das ist eine Grenzwertbetrachtung, eben die Steigung in diesem Punkt).

Liebe Grüße

So... Jetzt ist mir der Unterschied wohl klar.
Aber wozu (jetzt klausurtechnisch gedacht) braucht man die GRS?

Ich hätte gedacht, mein Beispiel mit der Erhöhung um 4 wäre eine mögliche Frage... Aber wenn man die GRS dafür nicht braucht, hat sich das ja erledigt

Christoph86 schrieb:

Aber wozu (jetzt klausurtechnisch gedacht) braucht man die GRS?

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Das findest Du am besten durch das Lösen alter Klausuren heraus.

Die einfachste aller Fragen, ist natürlich die nach der Bestimmung der GRS für eine gegebene Produktionsfunktion. Das ist dann "Deine Frage", aber nicht im "makroskopischen" Bereich der Erhöhung um 4, sondern im "mikroskopischen" Bereich der Erhöhung um einen infinitesimal kleinen (marginalen) Wert.

Die GRS spielt auch eine Rolle bei der Berechnung der Minimalkostenkombination für eine bestimmte (beliebig gewählte) Ausbringungsmenge bei gegebener Produktionsfunktion und gegebenen Faktorpreisen (siehe EBWL KE 1 Seite 101 ff.).

Liebe Grüße

Ich habs echt nicht verstanden!

Für M=f(r1,r2)

Wie leite ich die GRS aus dem totalen Differential her?

Jane,

mach dir nicht`s draus, ich auch nicht.. hoffentlich kriegen wir das hinterher in Mathe hin, hauptsache wir bestehen die BWL-/VWL-Klausur erstmal...

Jane_ schrieb:

Ich habs echt nicht verstanden!

Für M=f(r1,r2)

Wie leite ich die GRS aus dem totalen Differential her?

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Entlang einer Isoquante ändert sich die Ausbringungsmenge nicht, d.h. es gilt für das totale Differential:

(Df/Dr1) * dr1 + (Df/Dr2) * dr2 = 0

Und damit gilt:

(Df/Dr1) * dr1 = -(Df/Dr2) * dr2

dr2/dr1 = - (Df/Dr1) / (Df/Dr2)

Also:

GRS(2,1)
= dr2/dr1
= - (Df/Dr1) / (Df/Dr2)
= - (df/dr1) / (df/dr2)

Liebe Grüße