Hessesche Normalform 00053 Kurseinheit 1 Seite 27

Wenn ich das richtig verstehe, ergibt sich dies normalerweise folgendermaßen:

hier ein Beispiel:
V=(2,3)

Dieser Vektor des R2 hätte die Länge (Pythagoras) 2^2 + 3^2 =
nein falsch: das fehlt noch die Wurzel:
Wurzel aus(2*2 + 3*3)

Im Inneren steht also die einzelnen Komponenten zum quadrat und addiert.
das ist nichts anderes als Skalarprodukt v.v oder je nach schreibweise
vT . v (v transponiert skalarprodukt v)

Also ist umgekehrt

( Wurzel aus(2*2 + 3*3) ) zum quadrat =
( Länge von (2,3) ) zum Quadrat.

Dies stimmt in unserem Beispiel auch praktisch:

Länge(2,3) = Wurzel (2*2 + 3*3) = Wurzel aus 13

Wurzel aus 13 zum Quadrat ist einfach 13
= 2*2 + 3*3 = v.v

Ich hoffe ich konnte Dir helfen, sonst schick mir ne Email, dann können wir telefonieren.

Grüße Armin

Also, mir ist gerade was ganz komisches passiert. Ich hatte genau das gleiche Problem, dass ich die Formeln nicht verstanden habe. Da das ohne den Text aber alles schwer zu verstehen war, wollte ich meine Notizen in einem Screenshot hinterlegen.

Als ich dann so mein Problem erklären wollte wurde mir plötzlich immer mehr klar und ich fing an es zu verstehen. Hab mein Werk allerdings trotzdem zuende geführt, vielleicht hilft es ja dem ein oder anderen.

Ich hoffe es ist richtig so.
VIele Grüße
Die Milch


Edit: Ich habe den Anhang gelöscht, da er gegen das Urheberrecht verstößt. Nadine0207

Das sollte mal freigeschaltet werden!

Da anscheinend noch interesse besteht, hab ich mir nochmal die Mühe gemacht das ganze ohne Skript zusammenzufassen:


bitte,bitte

Ich steh bei der Übungsaufgabe total auf dem Schlauch: Wieso muss ich durch Wurzel 5 teilen?

ich versuchs einfach mal:

Die Achsenabschnitts-Form dient ja dazu, den Verlauf einer Geraden zu beschreiben. Umgeformt lautet sie: a1*x1 + a2*x2 -b = 0

In der Übungsaufgabe:
x1=2x2+5 (ich denke die meinst du) ist diese nur umgestellt:

x1-2x2-5=0 bzw. (1)x1-2x2-5=0
Du hast also den Vektor a=(a1, a2)=(1,-2)

Die Hessesche Normalform erhälst du, indem du durch die Länge des Vektors dividierst. Dazu muss man erstmal die Länge berechnen:
|a|=Wurzel(1²+(-2)²)=Wurzel(5)

Du teilst also durch Wurzel 5 um die Hessesche Normalform zu erhalten.

Ich hoffe das hat dir geholfen,

gruß

Puh, danke sebastian.

Die anderen Aufgaben gingen ja halbwegs noch, aber vor der bin ich echt verzweifelt.
Habs jetzt aber verstanden.

Ist ||a|| (euklidische Norm?) das Gleiche wie |a| (Betrag)?

Also i) krieg ich ja jetzt hin aber wie funktioniert ii)? Ich kann doch nicht einfach diesen Vektor (12 1) da einsetzen?!
Kann mir das vielleicht jemand veranschaulichen?

Doch genau das machst du.
Die Hessische Normalform lautet ja: x1/Wurzel(5)-2x2/Wurzel(5)-5/Wurzel(5)=0
Diese beschreibt (verbessert mich wenn es nicht stimmt) alle Punkte, die auf der Geraden liegen. Wenn du jetzt den Abstand berechnen willst, setzt du für x1 und x2 die Komponenten des Vektors/Punkt ein. Du darfst natürlich nicht =0 nehmen, dann hättest du ja einen Punkt auf der Geraden... Du berechnest also nicht =0 sondern =delta. Delta ist der Abstand zur Geraden:

12/Wurzel(5)-2*1/Wurzel(5) - 5/Wurzel(5)= delta
Oder:
(12-2*1-5)/Wurzel(5) = delta
<=>
5/Wurzel(5) = delta

Entweder du tippst das in den Taschenrechner, und siehst direkt 5/Wurzel(5) = Wurzel(5)

Wenn dich interessiert warum lies hier weiter. Anonsten darfst du das auch gerne einfach so hinnehmen:

5/Wurzel(5) = Wurzel(25)/Wurzel(5) = Wurzel(5)*Wurzel(5)/Wurzel(5) = Wurzel(5)/1 = Wurzel(5)

Einfach mal selber auf ein Zettel schreiben dann leuchtet es eher ein.

Gruß

@Manuela:
Da man den Betrag eines Vektors genauso berechnet wie die euklidische Norm, würde ich jetzt mal einfach JA sagen.

Also die normalform zu berechnen kapier ich ja... man bildet die orthogonale zur gegebenen geraden durch den pythagoras aus x1 und x2 und erhält somit den einheitsvektor im 45 grad winkel, d.h. der kürzeste abstand zum punkt z.b. p...

muss ich aber den ganzen schnulli herleiten könne ??
dann siehts nämlich mau aus...

grüße aus dem süden

Manuela schrieb:

Kurze Frage: Ist ||a|| (euklidische Norm?) das Gleiche wie |a| (Betrag)?

Zum Vergrößern anklicken....

Nein, sonst würdest Du ja nicht zwei verschiedene Symbole (ein Strich, zwei Striche) verwenden. Wenn Du so möchtest, ist ||a|| die Erweiterung auf Vektoren von |a|, das ja für Zahlen gilt.

also normalerweise stehen orthogonalen im 90 grad winkel zur geraden. einheitsvektoren sind in dem fall ja nichts anderes als vektoren, die auf den koordinatenachsen liegen (0,1,0) ; (1,0,0); (0,0,1)...

ich habe mich bzgl. des herleiten die selbe Frage gestellt. spontan würde ich sagen, nein! mein mentor in mathe teilte mir mit, dass es ausreicht, wenn man aufgaben wie beispielsweise "Abstand Punkt - Gerade" rechnen kann. natürlich kommt es immer besser, wenn man auch weiss, was man da macht.

geht es euch auch so, dass ihr stundenlang herleitungen anguckt und am ende feststellt, dass die eigentliche übungsaufgabe garnicht so heftig ist? habe den eindruck die schreiben das mega kompliziert und wollen eigentlich nur was ganz einfaches...