Hessesche Normalform - Fehler im Skript?
Wirtschaftsmathematik
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I
Kurseinheit 1: Lineare Algebra I
Seite 28 - Übungsaufgabe 2.3.9.
i) Formen Sie die Geradengleichung [tex]x_1 = 2x_2 + 5[/tex] in die Hessesche Normalform um!
ii) Welchen Abstand hat der Punkt [tex]\begin{pmatrix} 12 \\ 1\end{pmatrix}[/tex] von dieser Geraden?
zu i)
Ich finde hier komisch, dass [tex]\frac{\vec a^t}{||\vec a||} - \frac{b}{||\vec a||} = 0[/tex] praktisch ohne Bildung des orthogonalen Vektors benutzt wird!
[tex]x_1 = 2x_2 + 5
x_1 - 2x_2 - 5 = 0 [/tex] Ist klar! Und somit folgt als Vektordarstellung:
[tex]
\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - 5 = 0
[/tex]
Erstes Problem:
Es ist klar, dass ein Orthogonalenvektor zu dem (1;-2)-Vektor die selbe Länge, nämlich Wurzel(5) hat. Aber in den Lösungen wird zur Bildung der Hess. Normalform gar kein zu (1;-2) senkrechter Vektor (Skalarprodukt = 0) gebildet. Ist das nicht falsch? Oder irre ich? Oder geht irgendwie beides!?
Zweites Problem:
Ausgehend von der in i) laut Skript ermittelten HNF (die ich ja bei meinem ersten Problem hinterfrage) zu
[tex]\frac {1}{\sqrt{5}} (\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - 5) = 0 [/tex] beziehungsweise gleichbedeutend:
[tex]\frac{x_1}{\sqrt{5}} - \frac{2x_2}{\sqrt{5}} - \frac{5}{\sqrt{5}} = 0[/tex]
wird nun der Abstand des Punktes (12;1) berechnet. Da wird einfach eingesetzt! Das ist auch loggisch.
Im Skirpt kommt Wurzel(5) raus. Aber das kann doch nicht sein, denn:
[tex]\frac{12}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{12-2-5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}[/tex]
Wo hakt es bei mir (oder beim Prof.) ??
Vielen Dank für kluge Antworten!
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Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I
Kurseinheit 1: Lineare Algebra I
Seite 28 - Übungsaufgabe 2.3.9.
i) Formen Sie die Geradengleichung [tex]x_1 = 2x_2 + 5[/tex] in die Hessesche Normalform um!
ii) Welchen Abstand hat der Punkt [tex]\begin{pmatrix} 12 \\ 1\end{pmatrix}[/tex] von dieser Geraden?
zu i)
Ich finde hier komisch, dass [tex]\frac{\vec a^t}{||\vec a||} - \frac{b}{||\vec a||} = 0[/tex] praktisch ohne Bildung des orthogonalen Vektors benutzt wird!
[tex]x_1 = 2x_2 + 5
x_1 - 2x_2 - 5 = 0 [/tex] Ist klar! Und somit folgt als Vektordarstellung:
[tex]
\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - 5 = 0
[/tex]
Erstes Problem:
Es ist klar, dass ein Orthogonalenvektor zu dem (1;-2)-Vektor die selbe Länge, nämlich Wurzel(5) hat. Aber in den Lösungen wird zur Bildung der Hess. Normalform gar kein zu (1;-2) senkrechter Vektor (Skalarprodukt = 0) gebildet. Ist das nicht falsch? Oder irre ich? Oder geht irgendwie beides!?
Zweites Problem:
Ausgehend von der in i) laut Skript ermittelten HNF (die ich ja bei meinem ersten Problem hinterfrage) zu
[tex]\frac {1}{\sqrt{5}} (\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - 5) = 0 [/tex] beziehungsweise gleichbedeutend:
[tex]\frac{x_1}{\sqrt{5}} - \frac{2x_2}{\sqrt{5}} - \frac{5}{\sqrt{5}} = 0[/tex]
wird nun der Abstand des Punktes (12;1) berechnet. Da wird einfach eingesetzt! Das ist auch loggisch.
Im Skirpt kommt Wurzel(5) raus. Aber das kann doch nicht sein, denn:
[tex]\frac{12}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} - \frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{12-2-5}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}}[/tex]
Wo hakt es bei mir (oder beim Prof.) ??
Vielen Dank für kluge Antworten!
