Hesseschen Normalform?

ich würde dir gern helfen, ich glaube ich habs gerade verstanden, aber wo steht denn die Aufgabe C201?

Bei der Hesseschen Normalenform brauchst du einen normierten (Länge 1) Normalenvektor (senkrecht zu den Richtungsvektoren der Ebene).

Du berechnest das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren und erhälst einen zu den Ausgangsvektoren senkrechten Vektor.

Bestimme jetzt die Länge dieses Vektors und teile diesen Vektor durch dessen Länge, damit er normiert ist, also die Länge 1 hat.

Poste mal die Aufgabe, dann kann ich mehr sagen.

https://www.fernuni-hagen.de/BWLOR/lehrangebot/uebungsangebote_00053.php
https://www.fernuni-hagen.de/BWLOR/lehrangebot/uebungsangebote_00054.php

Hey, ich sicke ich euch die Links woher ich die Übungsaufgabe her habe.
Also unter dem ersten link...dann die nummer 2 und davon die nummer 1. Wäre super wenn du (Klinsi) mir das nochmal anhad des Beispieles erklären könntest?.

Lg, Jacky

Du befindest dich also gar nicht im R³, sondern im R². Gut, der Normalenvektor der Gerade kann direkt abgelesen werden, er lautet (1/3, 1/4).

Die Länge dieses Vektors kannst du leicht bestimmen (eigentlich nur der Pythagoras) a² = (1/3)² + (1/4)² = 1/9 + 1/16.

Gleichnamig machen und addieren: a² = 16/144 + 9/144 =(16+9)/144 = 25/144.

Du willst nicht das Quadrat der Länge, sondern die Länge selbst, also Radizieren: a = Wurzel (25/144) = 5/12.

Nun musst du die Gleichung durch die Länge des Normalenvektors dividieren, also die komplette Gleichung mit dem Kehrwert von 5/12 multiplizieren. Das ändert nichts an der Gerade, jedoch hast du jetzt einen normierten Normalenvektor (4/5, 3/5).

Probe: a = Wurzel ((4/5)² + (3/5)²) = wurzel ((16 + 9)/25) = Wurzel (1) = 1. Also hat der Vektor die Länge 1.

Das ganze hat den Vorteil, dass man durch einsetzen einen beliebigen Punktes direkt den Abstand dieses Punktes von der Gerade erhält. Ist der Abstand 0, wird also die Geradengleichung erfüllt, so liegt der Punkt auf der Geraden.

Hey vielen Dank (etwas spät, aber besser als nie) für die Erklärung habe das jetzt verstanden. Und wenn es R^3 wäre müsste ich ^3 machen oder ?

Lg Jacky

Hey Klinsi ich hätte da noch eine Frage an dich und zwar...
nehmen wir jetzt mal ein ganz einfaches beispiel von der Hesseschen Normalformel:

SA K1, Aufgabe 41. Muss man immer durch die wurzel aus 5 rechnen? also wäre die Antwort hier - wurzel aus 80?

Noch eine letzte Frage könntest du mir vielleicht auch die Aufgabe 43 erklären....

Ach zum Beispiel wenn ich meine Lösungen der SA im Internet abgebe muss ich das Kommar (zB 0,999) auch angeben, nicht?

Hey ich bins schon wieder, habe es etwas verpeilt, dass du (Klinsi) ja schon etwas weiter als ich bist.

Aufgabe 41: Berechnen Sie den Abstand des Punktes z von der Geraden g.
g: -4x-3y+2=0 (y=x2)
z=(4,2)T

Aufgabe 43: Berechnen Sie x>0, so dass der Komponent eines normierten Vektors ist und geben sie die Lösung in Dezimaldarstellung an.

(x,a)T = LK((3,4))T

Wenn du Zeit und Lust hast, wäre es schön wenn du es mir erklären könntest, wenn nicht ist auch nicht schlimm Frage ich halt jemand anders.

Schonmal Danke im Vorraus!

Jacky1987 schrieb:

Hey vielen Dank (etwas spät, aber besser als nie) für die Erklärung habe das jetzt verstanden. Und wenn es R^3 wäre müsste ich ^3 machen oder ?

Lg Jacky

Zum Vergrößern anklicken....

Nein! Im R³ kannst du mit der Hesseschen Normalenform eine Ebene im Raum beschreiben. Auch hier musst du den gefundenen Normalenvektor ebenfalls durch Division durch seine Länge normieren. Die Länge eines Vektors im R³ ergibt sich aus dem räumlichen Pythagoras:

a = Wurzel (x² + y² + z²)


Zu den Aufgaben kann ich nichts sagen, da ich kein Skript habe.

Danke fuer die Erklaerung!

Wenn mir jemand mit den Aufgaben helfen wuerde waere ich sehr DANKBAR!

Jacky,

mach Dir nicht all zu viele Gedanken wegen der Hesseschen Normalform. Dass Du irgendetwas nicht sofort verstehst, ist die Regel und nicht die Ausnahme, das wird Dir im Laufe des Studiums noch häufig genug passieren. Dann ist es das beste, die Sachen erst einmal auf sich beruhen zu lassen und mit dem Rest weiterzumachen. Die Wahrscheinlichkeit, dass es "klick" macht, wenn Du Dir die Sache in ein par Wochen noch einmal anschaust, ist größer als wenn Du Dich jetzt daran festbeisst.

Aufgabe 41: Berechnen Sie den Abstand des Punktes z von der Geraden g.
g: -4x-3y+2=0 (y=x2)
z=(4,2)T


Hallo Jacky,

bei der Aufgabe 41 kann ich Dir vielleicht helfen.

Du hast hier eine Geradengleichung in der sog. Achsenabschnittsform gegeben, die Du auch in Vektorschreibweise darstellen kannst:
(-4, -3) mal (x1, x2)T +2 =0
Jetzt rechnest Du zuerst die Länge des Vektors, also seinen Betrag aus:
Wurzel (-4)^2 +(-3)^2 = 5
Dann setzt Du die Werte in die Hessesche Normalform ein - Du sollst ja den Abstand des Punktes mit den Koordinaten (4,2) zur gegebenen Geraden berechnen, dazu ist die Hessesche Normalform da.
Du erhälst also:
-4/5 mal 4 -3/5 mal 2 + 2/5 = 4
Der Abstand des Punktes (4,2) zur Geraden mit dem Verlauf -4x-3y+2 ist also 4.

Bei Aufgabe 43 blicke ich leider selber nicht so ganz durch....

Viele Grüße
Sabine

Dankeschön, ihr habt mir echt grad super weitergeholfen!
Bin froh, dass ich dieses Forum eben entdeckt hab.

Grüße

Ok, ich versuch es mal.

der Vektor (x, a) lässt sich als Linearkombination des Vektors (3, 4) schreiben.

(x, a) = b * (3, 4) also

x = b*3
a= b*4

nach b auflösen und gleichsetzen, dann folgt:

x/3 = a/4 <=> a = 4*x/3

Zudem soll (x, a) normiert werden, es soll also gelten:

Wurzel (a² + x²) = 1 für a den ermittelten Ausdruck einsetzen

<=>Wurzel ((4x/3)² + x²) = 1

<=>Wurzel (16x²/9 + x²) = 1

<=> Wurzel (25x²/9) = 1

<=> 5x/3 = 1

<=>x = 3/5 = 0,6

alles klar?

Ansonsten kann ich dir nur empfehlen am Ball zu bleiben und aufkommende Probleme sofort zu klären oder zu lösen. Von Aufschieben halte ich persönlich nichts.

Danke für die Erklärung!!!!

Schönes Wochenende!

bei der 43 aus der SA hab ich ne andere Lösung:
||(3,4)||=Wurzel(3²+4²)=5
-> (3/5, 4,5)
x=3/5=0,6

Hab ich da irgendwo nen Denkfehler?
Bei den Übungsaufgaben im Lehrstuhl (Stichwort: Billardkugeln) ist die Aufgabe C0205 fast die gleiche, nur dass es da heißt, dass (a,x)=LK((3,4)), und da wär dann x=0,8
Link:
https://www.fernuni-hagen.de/BWLOR/assets/uebung/c0530205.pdf

bei der SA heißt es aber (x,a)=LK((3,4))

oder bin ich jetzt auf nem ganz falschen Dampfer?

Nein Cleud, x = 0,6 ist schon richtig, ich hab's vertauscht und oben korrigiert.

Phu, bin ich erleichtert! 🙂
Dachte erst, ich habs begriffen, dann doch nich... :dunce:

Danke für die Rückinfo!

Klinsi schrieb:

Die Länge dieses Vektors kannst du leicht bestimmen (eigentlich nur der Pythagoras) a² = (1/3)² + (1/4)² = 1/9 + 1/16.

Gleichnamig machen und addieren: a² = 16/144 + 9/144 =(16+9)/144 = 25/144.

Zum Vergrößern anklicken....

😱 mein Gott.... vor lauter Hesse und Schmidt bekomme ich die einfachsten Sachen nicht mehr auf die Reihe .... auf einen Nenner bringen! :aergern:

Ich war schon wieder am Zweifeln, weil ich dachte, ich hab es doch nicht verstanden ..... *schreikrampf*