Homogenitätsgrad

Wie bestimmt man nochmal bei einer wurzel den homgrad?

zb
3.wurzel aus x^4 + x^5?

also bei multiplikation addiert man ja die exponenten,
bei division subtrahieren
dann den größten wert nehmen
und bei wurzel?

[tex]\sqrt[3]{x^{4}+x^{5}}=\sqrt[3]{\lambda x^{4}+\lambda x^{5}}=\sqrt[3]{\lambda}+\sqrt[3]{x^{4}+x^{5}}[/tex]
daraus folgt: [tex]\lambda^{-\frac{1}{3}}[/tex]

Naja das kann man ja abe auch noch anders machen.durch hinschauen.ohne lambda?

Also habe ich zumindest früher immer so gemacht.kam auch hin.nur hab ich gerade vergessen wie man das bei den wurzeln gemacht hat-.-

Ich nehme mal an, dass du den GRAD einer Fkt. meinst und nicht den HOMOGENITÄTSGRAD einer Funktion.

Den Grad der Fkt ( Def. 13.1.6) kannst du gar nicht bestimmen, da es sich um ein Polynom handeln müsste, wo neben anderen Bedingungen u. a. vorausgesetzt wird, das es sich bei den Exponenten um NICHTNEGATIvE GANZE Zahlen handelt.

Ja,war nur ein beispiel.also rein theoretisch..wie wäre das dann?

Für die von dir ausgedachte Fkt. lässt sich der Grad nicht bestimmen, da du sie nicht auf Polynomgestalt (= Summe von Monomen) bringen kannst.

Ich habe selber mal unter der Wurzel versucht auszuklammen, etwa x"hoch 4" * (1+x). dann könnte man x"hoch 4" aus der Wurzel herausziehen, s. d. nur noch (1+x)unter der Wurzel verbliebe. Aber spätestens hier ist erkennbar, dass man die Fkt. nicht in Polynomform umformen kann.

Fazit: Diese konkrete Fkt. würde dir in der Klausur niemals vorgesetzt werden, um daraus den Grad zu bestimmen.

Naja suche gleich mal die letzte klausur.da hatten wir ja in der letzten afgabe so etwas mit einer 3.wurzel.raus kam 3.wegen diesem ln. naja,wenn man da nur das unter der wurzel anschauen würde.. egal,such gleich mal die aufgabe,da stellts sich fragen besser

Manzer schrieb:

[tex]\sqrt[3]{x^{4}+x^{5}}=\sqrt[3]{\lambda x^{4}+\lambda x^{5}}=\sqrt[3]{\lambda}+\sqrt[3]{x^{4}+x^{5}}[/tex]
daraus folgt: [tex]\lambda^{-\frac{1}{3}}[/tex]

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Sorry, aber das stimmt so nicht ganz!
Der Ansatz ist nicht ganz richtig (s.u.) und die Umformungen kann ich nicht nachvollziehen.
Das erste Gleichheitszeichen ist aus formalen Gründen nicht richtig, weil da einmal ein lambda steht und einmal nicht.
Und beim zweiten Gleichheitszeichen: wo kommt das "+" zwischen den Wurzeln her? Ich unterstelle hier mal eine Tippfehler. 😀

Richtig wäre

[tex]\sqrt[3]{\lambda x^{4}+\lambda x^{5}}=\sqrt[3]{\lambda} \cdot \sqrt[3]{x^{4}+x^{5}}[/tex]

Um den Homogenitätsgrad zu bestimmen, könnte man folgendermaßen vorgehen

[tex]
\sqrt[3]{(\lambda x)^4+(\lambda x)^5} =
\sqrt[3]{\lambda^4 (x^4+\lambda x^5)} =
\sqrt[3]{\lambda^4} \cdot \sqrt[3]{x^4+\lambda x^5}
[/tex]

daraus folgt: der Homogenitätsgrad kann nicht bestimmt werden.

Ja, so kommst wenns man schnell hinschmiert... Klara, du hast natürlich Recht