Hyperebene Hyperraum und Dimension

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franzi42

Dr Franke Ghostwriter
Hyperebene, Hyperraum und Dimension

Kleine Warnung vorweg: sucht danach lieber nicht über google...

Also, ich hab am WE die KE 1 zusammengefaßt und bin dabei nochmal über den Hyperraum und dessen Dimensionen gestolpert. Was dieser mengentheoretische Durchschnitt bedeuten soll, ist mir schon klar, im Prinzip die Schnittmengen der einzelnen Gleichungen/Hyperebenen. Nur hab ich irgendwie nicht verstanden, wie genau man jetzt die Dimension ausrechnet.

Nachdem ich hier auch ein wenig gesucht habe, nehme ich an, daß das später nochmal, kommt, kann das sein? Wird es dann auch verständlicher? Ich weiß nicht so recht, was ich mit den Gleichungen anfangen soll, wenn ich probiere, das mit Gleichungssystemen auszurechnen, bekomme ich irgendwelche Punkte, die will ich gar nicht haben. Also wie geh ich da ran? oder ist das gar nicht so wichtig und ich kann es erstmal beiseite schieben?

LG franziska
 
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die Dimension geht so:

n (also Anzahl der Vektoren-Komponenten) - Anzahl der Gleichungen = Dimension

Wenn Du also mit R^3 arbeitest und hast 2 Gleichungen, ist die Dimension des Ergebnisses:
n - Anzahl = 3 - 2 = 1
Also eine Gerade, weil das ein Hyperraum der Dimension 1 ist.
Bei drei Gleichungen (3 - 3 = 0) ist es ein Punkt - Hyperraum der Dimension 0.
Hyperraum der Dimension 2 wäre eine Ebene.

Und weiter weiß ich auch nicht. :-(

LG,
Tina
 
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Die Geradengleichung des Vektors wird benötigt, um Abstände von Punkten zu berechnen, die von diesem Vektor, der durch die Geradengleichung vorgegeben wird, entfernt sind. Hast du bspw. die Geradengleichung 0=X1+2X2+5X3 vorgegeben, kannst du daraus ableiten, dass der Vektor gebildet wird durch (3, 0, 4). Dann benötigst du die Länge dieses Vektors, welche hier 5 ist. (Wie gibt man hier im Forum Formeln ein?🙄) Diese Länge setzt du in die Geradengleichung ein:
0=X1/5 + 2X2/5 + 5X3/5. Wenn dir nun ein beliebiger Punkt z. B. (1, 2, 3) vorgegeben ist, dann setzt du diesen einfach nur noch ein: 0=1/5 + (2 mal 2)/5 + (5 mal 3)/5 und erhältst als Ergebnis 4. Daraus kannst du dann diverse Dinge ableiten. Nach diesem Schema funktioniert das immer. Egal ob im R² oder R³ oder...
 
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@Nadine und @Franzi:
Ihr meint da grad ganz unterschiedliche Dinge. Es geht nicht um den Abstand eines Punktes von einer Geraden, sondern um die Dimension eines durch ein Gleichungssystem beschriebenen Hyperraums.

@Franzi:
In KE 2 lernst Du eine schöne Art (Stichwort: Gauß), wie man solche Systeme löst. Ich sach nur: EA, da muss man das lösen.

LG,
Tina
 
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TinaTiger schrieb:
n (also Anzahl der Vektoren-Komponenten) - Anzahl der Gleichungen = Dimension
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Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen 🙂

Ich nehme an, die Frage ist nach der Dimension des Lösungsraumes eines homogenen linearen Gleichungssystems (das ist jedenfalls die Formel dafür). Jede Gleichung stellt eine Hyperebene durch den Ursprung dar (so wie eine Geradengleichung auf der 2D-Ebene oder eine Ebenengleichung im 3D-Raum). Mehrere linear unabhängige Gleichungen entsprechen also sich schneidenden Hyperebenen. Am Beispiel des dreidimensionalen Raumes kann man sich das so klarmachen: Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, drei Ebenen in einem Punkt (dem Ursprung). Mehr als drei linear unabhängige Gleichungen gibts nicht. Pro Gleichung wirds eine Dimension weniger.

Ich hoffe, ich habe das Thema nicht allzuweit verfehlt.
 
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@Nadine: macht doch nix. So eine Zusammenfassung hat auch was 😉 Ich finde es prima, daß so viele helfen wollen.

Ich dachte mir schon, daß es später nochmal auftaucht, irgendwo war mir das schon über den Weg gelaufen. Also schieb ich es jetzt wirklich mal zur Seite und harre der Dinge, die noch kommen. Danke Euch!

LG Franziska
 
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chris* schrieb:
Anzahl der linear unabhängigen Gleichungen 🙂
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Ok, I stand corrected. 😱 Da hast Du natürlich recht, ich beachte das zwar bei den Aufgaben, aber so unbewußt, dass mir mein Fehler hier gar nicht aufgefallen ist.

AAAAber ... jetzt bin ich dran ... 😛

chris* schrieb:
Jede Gleichung stellt eine Hyperebene durch den Ursprung dar
[...]
Zwei Ebenen schneiden sich in einer Geraden, drei Ebenen in einem Punkt (dem Ursprung).
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Deine Erklärung ist toll, aber das mit dem Ursprung ist ein Gerücht, das muss nicht sein. Siehe die EA für dieses Semester. Wenn die resultierenden Hyperräume den Ursprung enthalten, sind es zwar Sonderfälle (Unterräume), aber das ist nicht zwingend notwendig!!

LG,
Tina
 
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TinaTiger schrieb:
Deine Erklärung ist toll, aber das mit dem Ursprung ist ein Gerücht, das muss nicht sein. Siehe die EA für dieses Semester. Wenn die resultierenden Hyperräume den Ursprung enthalten, sind es zwar Sonderfälle (Unterräume), aber das ist nicht zwingend notwendig!!
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Ich kenn eure EAs nicht (siehe Signatur) und hatte auch nur vermutet, dass es sich um homogene Gleichungssysteme (also der Form [tex]Ax = 0[/tex]) handelt. Bei inhomogenen Systemen gehen die ganzen Hyperebenen natürlich nicht durch den Ursprung, dann stimmt der Rest auch nicht. Da das dann keine Vektorräume mehr sind, kann ich dazu leider auch nur wenig mathematischen Input beitragen
 
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