Inverse eine Matrix betimmen mit Pivotelement

Eveline,
wenn du ein einfaches Verfahren suchst, dann nimm doch Gauß...

Das Prinzip hinter beiden ist eigentlich einfach. Du schreibst rechts neben deine Matrix eine weitere Einheitsmatrix desselben Typs. Nun versuchst du durch z.B. Addition der Zeilen links eine Einheitsmatrix zu erzeugen und kannst dann rechts die Inverse ablesen. Gauß sagt jetzt eigentlich : fang mal links oben an und mach dann weiter wie du Lust hast...Haupsache da stehen dann am Ende nur nuch Einser in der Diagonalen und sonst nur Nuller(linke Seite).
Die Kreisregel schreibt dir jetzt einfach nur eine Reihenfolge vor mit der du zum Ergebnis kommst. Die Rechenschritte sind dabei so ziemlich die gleichen, die du auch mit Gauß verwendet hättest...du machst halt nur immer 3 Rechenschritte auf einmal.
Additionsverfahren kann jeder, der die 9. Klasse erfolgreich absolviert hat.
Viel schwieriger muß man er sich doch nicht machen.
Wenn jemand diesen Kreisregel/Pivotquatsch toll findet kann er/sie ja gerne die einzelnen Schritte posten.

Gruß, tru

p.s. wenn jemand gerne mit Determinanten rechnet gibts noch diesen Weg...

A^-1 = 1/detA * A anjungiert

Gauß ist meines erachtens das einfachste ... vom Prinzip ... erst: Gauß vorwärts, dann Gauß rückwärts!!!

Gruß Dennis

PS: wenn du noch Probleme hast, schreib doch einfach die Aufgabe hier herein , dann helf ich dir gerne weiter!

TruPlaya schrieb:

p.s. wenn jemand gerne mit Determinanten rechnet gibts noch diesen Weg...

A^-1 = 1/detA * A anjungiert

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Würde es Dir was ausmachen, mal eine kurze Aufgabe (2 x 2 Matrix) dazu vorzurechnen. (Reicht auch ohne Erklärungen). Ich kann zwar die Gauss-Methode und die Kreisregel. Aber ich bin ein absoluter Determinanten Fan! Ich wende diese selbst bei Lagrange an 🙄

Meine Recherche nach anjungiert (es heißt wohl adjungiert) führt auf Google nicht gerade nach dem, was ich suche.

Matrix A=
1 4 3
2 0 0
3 5 4

dann mit hilfe der sarrusregel die determinate berechnen. da kommt -2 bei raus.

da die det ungelich null ist, existiert die inverse.

wenn du jetzt die o.g. formel verwendest ( zuvor musst du abe die adjunkte berechnen ) kommst du auf folgendes:

1/-2 *
0 -1 0
-8 -5 6
10 7 -8

Die Inverse lautet also:

0 0,5 0
4 2,5 -3
-5 -3,5 4

Sorry ich bekomm das mit den matrizen nicht gescheiter geschrieben.

Tiia schrieb:

sorry ich bekomm das mit den matrizen nicht gescheiter geschrieben.

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Ist schon OK so. War ja einfach zu verstehen

Nur.... wie komme ich auf die Adjunkte?

(ich habe auf Wikepedia was dazu gefunden, aber das hilft mir nicht wirklich weiter).

Hängen bleibe ich bei...

---- Zitat -----
a) Dir aus A die zum Element a[i, j] gehörige Untermatrix erzeugst, was sehr einfach funktioniert: Nimm A und streiche darin die i. Zeile und j. Spalte heraus, so daß A auf (n-1) x (n-1)-Format "schrumpft". Diese Matrix ist die gesuchte Untermatrix.
---- Zitat Ende -----

am Punkte i. Zeile und j. Spalte.

Woher weiß ich, welche ich streichen muss?

Also, um dein neues a11 zu berechnen, musst du die erste Zeile und erste Spalte löschen. Um a23 zu berechnen dementsprechend die 2. Zeile und 3. Spalte. Bei einer 3x3 Matrix bleiben dann nur noch 4 Elemente übrig und von denen berechnet man dann die Determinante. (oben links*unten rechts - unten links*oben rechts...). Dann muss man sich noch das Vorzeichen überlegen. Es kommt immer abwechselnd + oder - davor. Wenn i+j zusammen gerade sind ein + (Vorzeichen ändert sich also nicht. Bei ungeradem i+j z.B. 2+3 ändert sich das Vorzeichen.

Diese neue Matrix muss jetzt noch transponiert werden und man hat die adjungierte Matrix.
tru

Rang einer Matrix

Wie bestimme ich am einfachsten den Rang einer Matrix ? Ich finde keinen einfachen Ansatz dazu. Daß ich per Determinante bestimmen kann, ob voller Rang vorliegt oder nicht, weiß ich. Aber was mache ich, wenn ich den genauen Rang bestimmen soll ?


Ich weiß, eigentlich paßt das nicht ganz so gut hier dazu, aber ich hab damit echt ein Problem. Und ihr kennt euch doch so gut aus *blinzel* !

Kerstin

TruPlaya schrieb:

Also, um dein neues a11 zu berechnen, musst du die erste Zeile und erste Spalte löschen. Um a23 zu berechnen dementsprechend die 2. Zeile und 3. Spalte. Bei einer 3x3 Matrix bleiben dann nur noch 4 Elemente übrig und von denen berechnet man dann die Determinante. (oben links*unten rechts - unten links*oben rechts...). Dann muss man sich noch das Vorzeichen überlegen. Es kommt immer abwechselnd + oder - davor. Wenn i+j zusammen gerade sind ein + (Vorzeichen ändert sich also nicht. Bei ungeradem i+j z.B. 2+3 ändert sich das Vorzeichen.

tru

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Danke, ich hab´s verstanden!

Gefällt mir eigentlich besser als Gauß. Muss jetzt nur noch ein wenig üben.

sisa schrieb:

Wie bestimme ich am einfachsten den Rang einer Matrix ? Ich finde keinen einfachen Ansatz dazu. Daß ich per Determinante bestimmen kann, ob voller Rang vorliegt oder nicht, weiß ich. Aber was mache ich, wenn ich den genauen Rang bestimmen soll ?

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Nun, ich mache das immer so:

Mit der Determinanten bestimme ich, ob es Maximalrang ist oder nicht. Wenn nicht, bleiben ja nur Rg= 1 oder Rg=2.

Bei Rg=1 sieht man das meist auf einen Blick, da Du ja nur eine einzige unabhängige hast.

Wenn´s dann weder 1 noch Maximalrang ist, kann es nur 2 sein 😉

Wenn man es nicht herausfindet, welche linearen Abhängigkeiten bestehen, bleibt hat nur noch die Pivotelementgeschichte. War aber bisher in keiner Klausuraufgabe nötig. Es war immer recht eindeutig :cool

Also mal etwas "allgemeiner" gesagt: Der Rang einer Matrix ist (ggf. nach geeigneten Zeilenumformungen) die maximaleAnzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren (oder auch Spaltenvektoren, aber das ist erstmal Geschmackssache). D.h. man forme die Matrix erstmal zu einer oberen (oder meinetwegen auch unteren) Dreiecksmatrix um, und zwar dergestalt, dass in jeder Zeile entweder das Element in der Hauptdiagonalen ungleich Null oder aber die ganze Zeile gleich Null ist. Die Anzahl der Zeilen, die nicht gänzlich Null sind, ist dann der Rang.

Sieh auch https://de.wikipedia.org/wiki/Rang_%28Mathematik%29

TruPlaya schrieb:

Also, um dein neues a11 zu berechnen, musst du die erste Zeile und erste Spalte löschen. Um a23 zu berechnen dementsprechend die 2. Zeile und 3. Spalte. Bei einer 3x3 Matrix bleiben dann nur noch 4 Elemente übrig und von denen berechnet man dann die Determinante. (oben links*unten rechts - unten links*oben rechts...). Dann muss man sich noch das Vorzeichen überlegen. Es kommt immer abwechselnd + oder - davor. Wenn i+j zusammen gerade sind ein + (Vorzeichen ändert sich also nicht. Bei ungeradem i+j z.B. 2+3 ändert sich das Vorzeichen.

tru

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habe gerade gemerkt, dass man dann anschliessend noch transponieren muss, bevor man durch die Determinante teilt.

Gruß, Michael

sisa schrieb:

Wie bestimme ich am einfachsten den Rang einer Matrix ?

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Sieh mal unter #?p=72753#post72753

dort habe ich auf der letzten Seite mein eigenes Skript reingestellt. Ab Seite 8 ist die Rangbestimmung an Beispielen recht ausführlich erklärt.

Gruß, Michael

Michael1709 schrieb:

habe gerade gemerkt, dass man dann anschliessend noch transponieren muss, bevor man durch die Determinante teilt.

Gruß, Michael

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Entschuldige, habs noch angefügt...

Nun, ich mache das immer so:

Mit der Determinanten bestimme ich, ob es Maximalrang ist oder nicht. Wenn nicht, bleiben ja nur Rg= 1 oder Rg=2.

Bei Rg=1 sieht man das meist auf einen Blick, da Du ja nur eine einzige unabhängige hast.

Wenn´s dann weder 1 noch Maximalrang ist, kann es nur 2 sein 😉

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Ganau so! Hierfür brauchts nun wirklich keine obere/untere Dreiecksmatrix...

tru

TruPlaya schrieb:

Ganau so! Hierfür brauchts nun wirklich keine obere/untere Dreiecksmatrix...

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Nö, für 3x3er fängt man da nicht an zu rechnen. Umgekehrt muss ich mal mathematisch korrekt anfügen, dass Michaels intuitive Methode letztlich genau dieses (im Geiste) macht, auch wenn man das nicht so bewusst wahrnimmt 😀

Erinnert mich an die Klausur LinAlg I vor etlichen Jahren... eine Aufgabe bestand darin, den Rang einer 5x7-Matrix zu bestimmen. Stutzig machte, dass es für diese Aufgabe genau einen lumpigen Punkt (von 80 oder so) gab. Bei der "Nachbesprechung" meinte der HiWi, der die Übungsgruppe leitete, dass die Aufgabe ja trivial sei, mit ein wenig Routine sehe man sowas doch sofort (analog obiger Methode😕) bzw. man könne das ganz leicht im Kopf überschlagen. Naja...

wie bestimme ich mit der kreisregel ab pivotelement a|22 die übrigen elemente der ersten zeile?
sprich was kommt statt (dem hier nicht vorh. element) a|il (alt) in die gleichung?

ich glaube, ich habe grade ein brett vor dem kopf.😕
[wollte deswegen jetzt kein neues thema ausmachen (passt ja auch hier rein).]


gruss

Michael1709 schrieb:

Sieh mal unter #?p=72753#post72753

dort habe ich auf der letzten Seite mein eigenes Skript reingestellt. Ab Seite 8 ist die Rangbestimmung an Beispielen recht ausführlich erklärt.

Gruß, Michael

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Super Skript, hab mich noch gar nicht für den Hinweis bedankt ! Werde ich mir nochmal anschauen.

Ist bei Euch Kreisregel identisch mit Gauß ? Irgendwie sieht das alles nach Gauß aus.

007 schrieb:

hi,

wie bestimme ich mit der kreisregel ab pivotelement a|22 die übrigen elemente der ersten zeile?
sprich was kommt statt (dem hier nicht vorh. element) a|il (alt) in die gleichung?

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so, bin jetzt selbst schon soweit.
mich haben diese eingezeichneten kreise durcheinander gebracht.

wenn ich das richtig verstehe, bestimmt man das element a[ij neu] so:

a[ij alt] - [/COLOR]element, was in dieser spalte [j] in der pivotzeile steht / [/COLOR]pivotelement x [/COLOR]element, was in dieser zeile in der pivotspalte steht.

Wenn Du eine 4x4 Matrix mit der Hand berechnen willst, bist Du ´n Weilchen beschäftigt, nimm´ den Taschenrechner

die Kreisregel ist ganz einfach , wenn man das Prinzip dahinter verstanden hat.