Jetzt habe ich wirklich Probleme

Jetzt habe ich wirklich Probleme...

... und brauche dringend Hilfe! 😕

Ich hänge in WiWi in der KE 1 bei der Hesseschen Normalenform fest - ich verstehe gar nichts mehr! Bücher wälzen hilft mir auch nicht, das Ding wird überall anders erklärt und das verwirrt mich nur noch mehr.

Ich habe ja kapiert, was es mit dem Transponieren und der Länge des Vektors auf sich hat - aber was sollen mir diese wilden Darstellungen a/Länge von a usw. sagen???

Der Autor setzt einfach voraus: "Wie man sehen kann..." - ich könnte heulen, und das schon am Anfang. Bitte helft mir...

Also, die Hessesche Normalform ist nur eine Möglichkeit eine Gerade (im R^2) bzw. eine Ebene (im R^3 oder so) zu beschreiben. Und zwar mithilfe eines Normalenvektors.
Stellen wir uns vor es handelt sich um eine Ebene und du hast 3 Punkte gegeben. Dir ist sicher klar, dass eine Ebene mit 2 Richtungsvektoren aufgespannt werden kann. Hast du also die 3 Punkte a,b,c könntest du mit den Differenzen b-a und c-a z.B. solche Richtungsvektoren erzeugen.
Was du jetzt willst ist ein Normalenvektor zu diesen Richtungsvektoren. Ein Normalenvektor ist 1. orthogonal zu diesen Richtungsvektoren und 2. ist er normiert, hat also die Länge 1.
Um orthogonal zu sein, müsste das Skalarprodukt aus deinen Richtungsvektoren mit deinem Normalenvektor (n1,n2,n3) Null ergeben.
Bsp.: a=(1,4,2) , b=(2,5,1) , c= (2,2,3)
b-a = (1,1,-1) ; c-a = (1,-2,1) ; n = (n1,n2,n3) gesucht
(b-a)*n = 1*n1 + 1*n2 -1*n3 = 0 (soll ja orthogonal sein)
(c-a)*n = 1*n1 - 2*n2 + 1*n3 = 0
Du erhälst ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten, das du bis zum Punkt n2 = 2n1 ; n3 = 3n1 auflösen kannst. An dieser Stelle kannst du einen der 3 beliebig (nicht 0) wählen woraufhin sich die anderen 2 ergeben. Wählst du z.B. n1=1 ergeben sich n2=2 und n3=3.
Du hast jetzt einen orthogonalen Vektor (1,2,3) den du noch auf die Läge 1 bringen, also normieren, musst.
Das machst du indem du die Länge dieses Vektors berechnest und dann dadurch teilst. Länge = Wurzel aus den Komponentenquadraten. Also:
1^2 + 2^2 + 3^2 = 1+4+9 =14. Du teilst also die Gleichung gleich durch (Wurzel aus 14).
Jetzt fehlt nur noch der Abstand zum Ursprung. Der berechnet sich indem du deinen Punkt a aus dem du vorher die Richtungsvektoren gebildet hast mit dem jetzt berechneten Normalenvektor multiplizierst. Wenn jetzt a=(1,4,2) war, dann berechnest du (1,4,2)*(1,2,3)/Wurzel14
= 1*1+4*2+2*3/Wurzel14 = 15/Wurzel14.
Die Hessesche Normalform sieht dann so aus:
x*(1,2,3)/Wurzel14 - 15/Wurzel14 = 0

Gruß, tru

Tru,

ich danke Dir herzlich! Ich habe mir Deine Antwort erst einmal ausgedruckt und werde sie mir nachher mal in Ruhe anschauen.

Vielen, vielen Dank für Deine Mühe!

Liebe Grüße nach Mainz

Habs mir auch nochmal angeschaut und 2 Änderungen gemacht...
1. Oben a,b,c angegeben und 2. ganz wichtig!! : - statt + in der Normalform letzte Zeile. Böser Fehler!

tru

CelineJ schrieb:

Der Autor setzt einfach voraus: "Wie man sehen kann..." - ich könnte heulen, und das schon am Anfang. Bitte helft mir...

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Keine Sorge, das ist bei mathematischer Literatur normal😱 Je komplizierter ein Sachverhalt, um so eher hat es für den Leser selbst leicht erkennbar zu sein, ist trivial oder dem Leser als "leichte" Übung überlassen - vermutlich entweder weil der Autor damit seine Überlegenheit ausdrücken möchte, oder weil er sich damit der Schwierigkeit entledigt, die Sache in verständliche Worte zu pressen.


mfg
Mickey

TruPlaya schrieb:

Habs mir auch nochmal angeschaut und 2 Änderungen gemacht...
1. Oben a,b,c angegeben und 2. ganz wichtig!! : - statt + in der Normalform letzte Zeile. Böser Fehler!

tru

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Ok! 😉 Hab beim ersten Überfliegen schon ruhiger atmen können.

Nochmals danke!

mickey schrieb:

Keine Sorge, das ist bei mathematischer Literatur normal😱 Je komplizierter ein Sachverhalt, um so eher hat es für den Leser selbst leicht erkennbar zu sein, ist trivial oder dem Leser als "leichte" Übung überlassen - vermutlich entweder weil der Autor damit seine Überlegenheit ausdrücken möchte, oder weil er sich damit der Schwierigkeit entledigt, die Sache in verständliche Worte zu pressen.


mfg
Mickey

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Hi, Mickey!
Danke für den Hinweis, werde mir Deine Worte beim nächsten Angriff auf meine Nerven zu Herzen nehmen! 🙄

Liebe Grüße

Danke Mickey. Das hilft mir echt weiter !