Ah, ich verstehe.😀 Hab die Aufgabe im Übungsbuch, da ist in der Lösung keine Rede von Lagrange...
Ich glaube, man braucht Lagrange auch gar nicht. Aber vielleicht hab ich da auch nen Denkfehler. Ich versuch trotzdem mal eine Erklärung:
Genau, es müssen die Gesamtkosten des Arbeitgebers minimiert werden. Und der Arbeitgeber muss dabei beachten, dass der Nutzenzuwachs aus der Bummelei nicht größer ist als die Kosten, die dem Arbeitnehmer entstehen, wenn er beim Bummeln erwischt wird, denn sonst lohnt sich Bummeln trotz des "Lohnentgangs" in der Zukunft. Und der Nutzenzuwachs ist ja in der Aufgabenstellung mit 400 gegeben.
Erstmal bestimmt man also die Kosten der Bummelei. Das ist das delta K in der Lösung. Wegen des oben gesagten, setzt man das dann mit dem Nutzenzuwachs aus Bummelei (400) gleich. Den Kram kann man dann nach dem Effizienzlohn auflösen.
So, jetzt setzt man diese "Lösung" als Teil der Kostenfunktion des Arbeitgebers (nämlich der Effizienzlohn in Abhängigkeit von m) ein. Und erhält die Gesamtkosten des Arbeitgebers in Abhängigkeit von m und diversen vorgegebenen Größen.
Das ist ja schomal ganz schön, denn nach nur einer Variable leitet es sich am leichtesten ab.
Wir wollten ja die Kosten minimieren, also Ableitung nach m und Nullsetzen ergibt das Kostenminimale m - also den kostenminimalen Monitoringaufwand des Arbeitgebers.
Das schöne ist, mit unserer Gleichung für den Effizienzlohn von oben und dem kostenminimalen m von hier, können wir nun auch ganz prima den Effizienzlohn bestimmen, für den gilt, dass er zum einen kostenminimal ist, dass die zugehörigen Monitoringkosten minimal sind und dass der Arbeitnehmer sich nicht besser stellt, wenn er bummelt (und ihm das Erwischtwerden egal ist).