Kurseinheit 9 Übungsaufgabe 6 und 7

Also, ich versuchs mal, zu erklären:

Aufgabe 6, S.38:
Gefragt ist nach dem Anteil der Stichproben, die einen Mittelwert im angegebenen Intervall liefern.
A. man muss die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte ermitteln.
B. man bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass der Mittelwert der Stichprobe vom angegebenen Intervall überdeckt wird.


A:
1. Wäre die Grundgesamtheit (näherungsweise) normalverteilt, wäre auch die Stichprobenfunktion [tex]\overline{X}[/tex] (näherungsweise) normalverteilt.
2. die Verteilung der Grundgesamtheit ist aber unbekannt
3. wegen n > 30 ist aber der Zentrale Grenzwertsatz anwendbar => Stichprobenfunktion [tex]\overline{X}[/tex] daher näherungsweise [tex]N \left(\mu , \sigma ^2_{\overline{X}} \right)[/tex] - verteilt. (vgl. S.37 !)
4. Bestimmung von [tex]\sigma ^2_{\overline{X}[/tex] bei bekannter [tex]\sigma[/tex] der Grundgesamtheit (siehe Aufgabenstellung)...

[tex]\sigma ^2_{\overline{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{6}{\sqrt{36}}=1[/tex]

5. [tex]\overline{X} \sim N(60, 1)[/tex] - verteilt


B:
1. Standardisierung... [tex]\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma _{\overline{X}}}=\frac{61-60}{1}=1=z[/tex]

2. wegen Symmetrie: P(-1 ≤ z ≤ 1) gesucht => F2(1) = 0,6827


PS: man kann auch im Anhang zum Glossar S.73 als Ablaufschema verwenden... ist zwar für einen Test der entsprechenden Null-Hypothese, wir machen hier aber im Grunde nix anderes... da sieht man dann auch, was ich vergessen habe:
Stichprobe ohne Zurücklegen: n/N = 36/1200 < 0,05 Endlichkeitskorrektur ist entbehrlich. Ändert das Ergebnis aber nicht.

Ergänzung zur zweiten Stichprobe:
Bei der Stichprobe mit n=100 ist dann nämlich n/N = 100/1200 > 0,05 weshalb bei der Ermittlung der Stichprobenvarianz die Endlichkeitskorrektur ergänzt werden muss.


Aufgabe 6 b)
Hier wird das Pferd von hinten aufgezäumt. Die Wahrscheinlichkeit soll mind. 0,9 betragen.
also:

F2(z) = 0,9 in der Tabelle zur Standardnormalverteilung suchen, dann ist z = 1,65

Stichprobe 1 mit n=36:
Umkehrung der Standardisierung:
+z*1 + 60 = 1,65 + 60 = obere Intervallgrenze bei N(60,1)-Verteilung = 61,25
-z*1 + 60 = -1,65 + 60 = untere Intervallgrenze = 58,35

Stichprobe 2 mit n=100:
+1,65*0,5747 + 60 = 60,95
-1,65*0,5747 + 60 = 59,05