Diese zwei Lösungsmöglichkeiten sind mir bekannt.
Das wäre nützlich zu wissen gewesen.
Die Matrix ist nur eine andere Schreibweise für das Gleichungssystem, von daher geht es immer irgendwie über die Matrix, ob man sich die nun explizit aufschreibt oder nicht. Die Lösbarkeit von linearen homogenen Gleichungssystemen Ax=0, wobei A eine m*n-Matrix ist, steckt komplett in dieser Formel drin:
dim(L) = n - Rang(A)
Mit L bezeichne ich mal den Lösungsraum. Die Frage nach der eindeutigen Lösbarkeit ist also die Frage, ob dim(L)=0 ist (dh. L ist nur der Nullpunkt) bzw. äquivalent, ob Rang(A)=n ist.
In manchen Fällen weiß man von vornherein, dass das nicht sein kann, nämlich wenn A eine rechteckige Matrix mit weniger Zeilen als Spalten (m<n) ist, denn Rang(A) kann höchstens so groß wie m sein.
In den anderen Fällen muss man herauskriegen, ob A vollen Rang hat. Bei quadratischen Matrizen geht das auch über die Determinante, sonst nur über den Rang.
Wobei natürlich der Rang nicht immer vollständig bestimmt werden muss ... wenn du bspw. den Gauss-Algorithmus anwendest und plötzlich Nullzeilen erzeugt hast, weißt du schon, dass der Rang nicht voll sein kann.
Manchmal sieht man die lineare Abhängigkeit auch direkt. Der Nullvektor ist bspw. immer linear abhängig. Zwei parallele Vektoren sind linear abhängig. Drei Vektoren, die in einer Ebene liegen, sind linear abhängig. Wenn ich dir also folgende Vektoren gebe:
( 1, 1, 2, 5 )
(-2, 3, 4, 7 )
( 2, 2, 4, 10 )
Weißt du, da der erste und der dritte parallel sind, sofort: Linear abhängig.
Auch wichtig: In einem n-dimensionalen Vektorraum gibt es höchstens n linear unabhängige Vektoren. Das heißt:
( 1, 3),
( 1, 4),
( 1, 5),
(-1, 12)
sind ohne zu rechnen von vornherein linear abhängig.
Ich hoffe ich hab nichts vergessen.
