Linearkombination Frage

Also ich lerne mit Fabianka und weiß nicht ob das da auch so drin steht.

Ich verstehe das so...

Den Vektor v1 multiplizierst du mit einer Zahl a und den Vektor v2 mit der Zahl b. Diese beiden Resultate addierst du dann, und es kommt Vektor 3 heraus

Beispiel müsste so aussehen.

5 * (1 2 3) + 3 * (4 5 6) = (5 10 15) + (12 15 18) = (17 25 33)

5 * und 3 * ist dein a und b. Und (1 2 3) und (4 5 6) ist v1 + v2.

v3 = (17 25 33)

Gegeben sind die Vektoren
a = (2,1,0)_T
b = (0,2,3)_T
c = (6,-1,-6)_T
Frage: Existiert zu dem Vektor x eine eindeutige Koordinatendarstellung bzw. Linearkombination bzgl. der Vektoren a, b, c ?

Also, ich meine, dass keine eindeutige Linearkombination existiert, weil die Vektoren zusammen linear abhängig sind (Determinante = 0). Denn alle Elemente eines Vektorraumes lassen sich ja eindeutig durch Linearkombination der linear unabhängigen Elemente seiner Basis darstellen.

???

Die Linearkombination ist 3a-2b=c
6a-4b=2c, wäre auch eine Linaerkombination ist aber ein vielfaches der ersten.

Wenn man jetzt nur a und b hätte sieht man diese voneinander linear unabhängig sind. c lässt sich aber mit a und b darstellen und ich bin der Meinung das die Linearkombination 3a-2b=c eindeutig ist, lass mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen.

mad schrieb:

Frage: Existiert zu dem Vektor x eine eindeutige Koordinatendarstellung bzw. Linearkombination bzgl. der Vektoren a, b, c ?

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Kann man so nicht sagen, ohne x zu kennen. Ist das eine Original-Aufgabenstellung? Ich denke mal da ist sowas wie "zu jedem [tex]x\in\mathbb{R}^3[/tex]" gemeint. Dann ist die Antwort, wie du schon richtig herausgefunden hast, nein, da die drei Vektoren linear abhängig sind und damit keine Basis darstellen können.

Mareike88 schrieb:

Die Linearkombination ist 3a-2b=c
6a-4b=2c, wäre auch eine Linaerkombination ist aber ein vielfaches der ersten.
Wenn man jetzt nur a und b hätte sieht man diese voneinander linear unabhängig sind. c lässt sich aber mit a und b darstellen und ich bin der Meinung das die Linearkombination 3a-2b=c eindeutig ist, lass mich aber auch gerne vom Gegenteil überzeugen.

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Es gibt noch a = LK(b,c). Das wäre dann 2/3b + 1/3c = a.

chris* schrieb:

Kann man so nicht sagen, ohne x zu kennen. Ist das eine Original-Aufgabenstellung? Ich denke mal da ist sowas wie "zu jedem [tex]x\in\mathbb{R}^3[/tex]" gemeint. Dann ist die Antwort, wie du schon richtig herausgefunden hast, nein, da die drei Vektoren linear abhängig sind und damit keine Basis darstellen können.

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Die Aufgabe war ein Beispiel aus einer Mentorenveranstaltung, stand an der Tafel. Da die Vektoren aus dem R³ sind, gehe ich auch davon aus, dass zu jedem [tex]x\in\mathbb{R}^3[/tex]" gemeint ist.