Catherine schrieb:
hi, kannst du mir noch verraten, was lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit grafisch bedeutet? Also kann man das bei Vektoren in einem Koordinatensystem sofort sehen, wenn sie l.u. oder l.a. sind?
Mit meiner Hilfsdefinition aus dem Mathe-LK "n Vektoren sind unabhängig genau dann, wenn sie einen (Unter-)VR der Dimension n aufspannen" wirst du vermutlich nicht so viel anfangen können.
😉
Am Beispiel des R³ kann ich mal versuchen, es bildlich darzustellen.
Also, wir haben drei Vektoren, die sind linear
abhängig, wenn sie irgendwie auf einer Ebene zum Liegen kommen. D.h. der dritte Vektor ist (das hatten wir schonmal) als Linearkombination der beiden anderen darzustellen. Wenn sie nicht auf ebensolcher Ebene liegen, so sind sie linear unabhängig (benutze die rechte-Hand-Regel, um die genaue Lage der Vektoren mit einer geeigneten Verrenkung der rechten Hand nachzuvollziehen).
Wenn wir im R³ nur zwei Vektoren betrachten, so müssen sie um linear abhängid zu sein, schon auf einer Geraden liegen (d.h. der eine ist ein Vielfaches des anderen).
Betrachten wir umgekehrt gleich vier Vektoren, so müssen diese
immer linear abhängig sein (rechte Hand), mal angenommen drei der vier sind linear unabhängig, dann kannst du dir leicht an einer Hand abzählen (oder wir lernen später: ausrechnen - Stichwort wann ist ein LGS lösbar?), dass der vierte sich als Linearkombination der anderen drei darstellen lässt.
und nochmal zur Betonung: In
jedem Vektorraum gilt, dass wenn von einer bel. Menge an Vektoren auch nur eine Teilmenge von wenigstens zwei Vektoren findet, welche linear abhängig sind, so bezeichnet man auch die gesamte Menge als linear abhängig, selbst wenn alle anderen Vektoren (ohne einen "Quertreiber") unabhängig sind.
