Logarithmus die Dritte

[tex]
\frac 1 2 \cdot \ln(x+4) + \ln( \e ( \frac 3 4 ) )= \e( \ln 3 )+ \frac 1 2 \cdot \ln(x+1)
[/tex]

@pple schrieb:

Mir erscheint die Aufgabe einfacher, wenn ich Terme mit e auf der einen
Seite habe und die Terme mit 1/2 auf der anderen.

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Ja, ist sinnvoll und richtig. Du hast dann

[tex]
\frac 1 2 \cdot \ln (x+4) - \frac 1 2 \cdot \ln(x+1) = \e( \ln 3 ) - \ln( \e ( \frac 3 4 ) ),
[/tex]

oder?

@pple schrieb:

1/2ln(x+4)-1/2ln(x+1)=e^(ln3)-ln(e^3/4)

Kann ich die 1/2lnx/y genauso genauso zusammenfassen wie lnx/y?

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Klar, Du kannst ja für Deine linke Seite auch schreiben:

[tex]
\frac 1 2 \cdot \ln (x+4) - \frac 1 2 \cdot \ln(x+1) = \\
\frac 1 2 \cdot ( \ln (x+4) - \ln(x+1) ) = \\
\frac 1 2 \cdot \ln \frac{x+4}{x+1}
[/tex]

@pple schrieb:

Wurzel(ln(x+4)/(x+1))

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Naja, das wäre so

[tex]
\ln \left( \left( \frac{x+4}{x+1} \right)^{\frac 1 2} \right)
[/tex]

oder so

[tex]
\ln \left( \sqrt{\frac{x+4}{x+1} } \right)
[/tex]


zwar richtig formuliert, aber ich würde das 1/2 auf die rechte Seite packen - dürfte einfacher sein...

Ich würde es etwa so machen:

[tex]
0,5 \cdot \ln (x+4) + \ln(e^{\frac{3}{4}}) = e^{\ln 3} + 0,5 \cdot \ln (x+1) \\
0,5 \cdot \ln (x+4) + \frac{3}{4} = 3 + 0,5 \cdot \ln (x+1) \\
0,5 \cdot [\ln (x+4) - \ln (x+1)] = \frac{9}{4} \\
\ln (\frac{x+4}{x+1}) = \frac{9}{2} \\
\frac{x+4}{x+1} = e^{\frac{9}{2}}
[/tex]

Dann nach x auflösen.

Klara schrieb:

Ich würde es etwa so machen:

[tex]
0,5 \cdot \ln (x+4) + \ln(e^{\frac{3}{4}}) = e^{\ln 3} + 0,5 \cdot \ln (x+1) \\
0,5 \cdot \ln (x+4) + \frac{3}{4} = 3 + 0,5 \cdot \ln (x+1) \\
0,5 \cdot [\ln (x+4) - \ln (x+1)] = \frac{9}{4} \\
\ln (\frac{x+4}{x+1}) = \frac{9}{2} \\
\frac{x+4}{x+1} = e^{\frac{9}{2}}
[/tex]

Dann nach x auflösen.

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Vielen Dank, Klara!
Ich hätte aber noch drei Fragen dazu!
Die peinlichste zuerst: Wie löse ich die Gleichung nach x auf? 😱
Wenn ich den Nenner auf die rechte Seite hole, habe ich nur noch mehr Variablen mit e, was mir Schwierigkeiten bereitet. Durch Faktorzerlegung im Zähler und Nenner lässt sich auch nichts kürzen.

Wie lautet das Gesetz, dass ln(e^3/4)=3/4 ist? Im Tafelwerk kann ich leider nichts passendes finden, außer vielleicht logaa=ln e=1 (weil Potenz von e = 1 ist).
Die 0,5 hast Du ja auf die rechte Seite geholt. Müsste die nicht zu einer Wurzel umgeformt werden?

Wie lautet die Regel, dass (9/2)/ln=e^9/2 ist? (Die Berechnung ist bestimmt falsch, aber ich konnte die betreffende Stelle im Lösungsweg nicht anders deutlich machen).

@pple schrieb:

Wie löse ich die Gleichung nach x auf? 😱
Wenn ich den Nenner auf die rechte Seite hole, habe ich nur noch mehr Variablen mit e, was mir Schwierigkeiten bereitet.

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Anders geht es nicht. Die Lösung ist in diesem Fall (wahrscheinlich) nicht besonders schön.

@pple schrieb:

Wie lautet das Gesetz, dass ln(e^3/4)=3/4 ist? Im Tafelwerk kann ich leider nichts passendes finden, außer vielleicht logaa=ln e=1 (weil Potenz von e = 1 ist).

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Der ln ist die Umkehrfunktion von e, also ist ln(e^x)) = x.

@pple schrieb:

Die 0,5 hast Du ja auf die rechte Seite geholt. Müsste die nicht zu einer Wurzel umgeformt werden?

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Muss nicht, wäre aber auch nicht falsch. Vielleicht ist das auch gewünscht, denn die 9/4 sehen so aus, als ob dort eine Wurzel gezogen werden sollte.

@pple schrieb:

Wie lautet die Regel, dass (9/2)/ln=e^9/2 ist? (Die Berechnung ist bestimmt falsch, aber ich konnte die betreffende Stelle im Lösungsweg nicht anders deutlich machen).

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Diese Regel ist mir unbekannt. 😀
Ich nehme an, Du meinst den Schritt von der vorletzten zur letzten Gleichung. Da habe ich einfach auf beiden Seiten ein e "drangeschreiben". Dann hast Du auf der linken Seite wieder e^ln(Bruch) = Bruch, wie oben.

Klara schrieb:

A
Ich nehme an, Du meinst den Schritt von der vorletzten zur letzten Gleichung. Da habe ich einfach auf beiden Seiten ein e "drangeschreiben". Dann hast Du auf der linken Seite wieder e^ln(Bruch) = Bruch, wie oben.

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Beim Schritt von der vorletzten auf die letzte Zeile hat Klara ausgenutzt, daß der natürlicher Logarithmus "ln" die Umkehrfunktion von "e" ist (und umgekehrt).

Um an das Argument des Logarithmus' auf der linken Gleichungsseite zu kommen, hat sie die ganze Gleichung einfach zur Potzenz von e erhoben.

Dann steht da:

[tex]
\ln \left(\frac{x+4}{x+1} \right) = \frac 9 2 \\
\Rightarrow e^{\ln \left(\frac{x+4}{x+1} \right)} = e^{\frac 9 2} \\
\Rightarrow \frac{x+4}{x+1} = e^{\frac 9 2}
[/tex]

Als Merkregel kannst Du also festhalten, daß sich das "e" und der "ln" gegenseitig wegheben. Das ist - nebenbei bemerkt - auch der Grund, warum
ln(e^3/4)=3/4 und e^ln 3 = 3 gilt. (Einfach mal mit dem Taschenrechner ausprobieren 😉 )

Wenn Dir das mit dem e auf der rechten Seite zu viel ist, kannst Du dafür ja irgendeine Abkürzung (zum Beispiel den kleinen griechischen Buchstaben "xi") einführen:

[tex]
\frac{x+4}{x+1} = e^{\frac 9 2} \\
\frac{x+4}{x+1} = \xi \\
x+4 = \xi \cdot (x+1) \\
x +4 = \xi \cdot x + \xi \\
x - \xi \cdot x = \xi -4 \\
x \cdot (1-\xi) = \xi -4 \\
x = \frac{\xi-4}{1-\xi} \\
x = - \frac{\xi-4}{\xi-1} \\
x = - \frac{e^{\frac 9 2} - 4 }{e^{\frac 9 2}-1} \\
[/tex]

NBl schrieb:

Beim Schritt von der vorletzten auf die letzte Zeile hat Klara ausgenutzt, daß der natürlicher Logarithmus "ln" die Umkehrfunktion von "e" ist (und umgekehrt).

Um an das Argument des Logarithmus' auf der linken Gleichungsseite zu kommen, hat sie die ganze Gleichung einfach zur Potzenz von e erhoben.

Dann steht da:

[tex]
\ln \left(\frac{x+4}{x+1} \right) = \frac 9 2 \\
\Rightarrow e^{\ln \left(\frac{x+4}{x+1} \right)} = e^{\frac 9 2} \\
\Rightarrow \frac{x+4}{x+1} = e^{\frac 9 2}
[/tex]

Als Merkregel kannst Du also festhalten, daß sich das "e" und der "ln" gegenseitig wegheben. Das ist - nebenbei bemerkt - auch der Grund, warum
ln(e^3/4)=3/4 und e^ln 3 = 3 gilt. (Einfach mal mit dem Taschenrechner ausprobieren 😉 )

Wenn Dir das mit dem e auf der rechten Seite zu viel ist, kannst Du dafür ja irgendeine Abkürzung (zum Beispiel den kleinen griechischen Buchstaben "xi") einführen:

[tex]
\frac{x+4}{x+1} = e^{\frac 9 2} \\
\frac{x+4}{x+1} = \xi \\
x+4 = \xi \cdot (x+1) \\
x +4 = \xi \cdot x + \xi \\
x - \xi \cdot x = \xi -4 \\
x \cdot (1-\xi) = \xi -4 \\
x = \frac{\xi-4}{1-\xi} \\
x = - \frac{\xi-4}{\xi-1} \\
x = - \frac{e^{\frac 9 2} - 4 }{e^{\frac 9 2}-1} \\
[/tex]

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Vielen Dank! Ich darf im BK ja einen TR benutzen und könnte an dieser Stelle die 0,966 ermitteln.


Darf ich die Regel auch bei folgender Aufgabe anwenden? Es soll bewiesen werden dass die folgende Gleichung erfüllt ist.

-ln(Wurzel(2+4x^2)+2)+ln2=ln(wurzel(2+4x^2)-2x)

Wenn ich nun die lnx zur Potenz von e erhebe, erhalte ich
1/(wurzel(2+4x^2)+2) + 2= wurzel(2+4x^2)-2x

Nach meinem Verständnis soll man auf das Ergebnis -2=-2 kommen.

Wenn ich die 2 nach rechts bringe und den Term wurzel(2+4x^2)-2x nach links, erhalte ich 1/(wurzel(2+4x^2)+2) - (wurzel(2+4x^2)-2x) = -2

Wenn ich auf der linken Seite den zweiten Term durch (wurzel(2+4x^2)+2) erweitere, damit ich zusammenfassen kann, erhalte ich (4x^2-4x-2)/(wurzel(2+4x^2)+2)=-2

Hier weiß ich nicht weiter. Bedeutet die Aufgabenstellung, dass auf beiden Seiten des Gleichheitszeichen der gleiche Ausdruck stehen muss (so habe ich es verstanden) oder soll x ermittelt werden?

@pple schrieb:

-ln(Wurzel(2+4x^2)+2)+ln2=ln(wurzel(2+4x^2)-2x)

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Meinst Du das hier? 😕

[tex]
-\ln( \sqrt{2+4x^2}+2 ) + \ln 2 = \ln( \sqrt{2+4x^2} - 2x)
[/tex]

Bei dieser Aufgabe sollst Du beide Seiten so lange umformen, bis Du eine wahre Aussage erhälst - eine Aussage, wie 2=2 oder wie 2x=2x.

Ich bekomme allerdings bei dem, was Du da angegeben hast, eine falsche Aussage, d.h. die beiden Seiten sind nicht gleich. 🙁 (Schau doch noch einmal, ob Du das richtig abgeschrieben hast. Vielleicht kannst Du in Zukunft auch LaTeX verwenden, um die Formeln zu schreiben - das ist für uns viel leichter zu lesen (und für Dich gar nicht so schwer...). Siehe hier: #?t=23540 )

NBl schrieb:

Meinst Du das hier? 😕

[tex]
-\ln( \sqrt{2+4x^2}+2 ) + \ln 2 = \ln( \sqrt{2+4x^2} - 2x)
[/tex]

Bei dieser Aufgabe sollst Du beide Seiten so lange umformen, bis Du eine wahre Aussage erhälst - eine Aussage, wie 2=2 oder wie 2x=2x.

Ich bekomme allerdings bei dem, was Du da angegeben hast, eine falsche Aussage, d.h. die beiden Seiten sind nicht gleich. 🙁 (Schau doch noch einmal, ob Du das richtig abgeschrieben hast. Vielleicht kannst Du in Zukunft auch LaTeX verwenden, um die Formeln zu schreiben - das ist für uns viel leichter zu lesen (und für Dich gar nicht so schwer...). Siehe hier: #?t=23540 )

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In der ersten Klammer fehlt bei der letzten 2 ein x. Entschuldige bitte!
War mein Ansatz denn richtig, mit der Potenz zu e?

Es muss im ersten Term also heißen [tex]-\ln( \sqrt{2+4x^2}+2x )[/tex]

@pple schrieb:

In der ersten Klammer fehlt bei der letzten 2 ein x.
War mein Ansatz denn richtig, mit der Potenz zu e?

Es muss im ersten Term also heißen [tex]-\ln( \sqrt{2+4x^2}+2x )[/tex]

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Ich sehe, Du wirst ein LaTeX-Profi!!! 😉

Die Aufgabe würde ich nun wiefolgt lösen:

[tex]
- \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \\
\ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) + \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) \\
\ln 2 = \ln \left( (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \cdot (\sqrt{2+4x^2} + 2x) \right)
[/tex]

Nun kannst Du beide Seiten bequem delogarithmieren, dann die rechte Seite ausmultiplizieren, die Terme, die sich wegheben zusammenfassen und schießlich erhälst Du die Aussage

[tex]
2 = 2.
[/tex]

Voila, schon bist Du fertig! 😉

Das Problem bei Deinem Ansatz war folgendes: Die sofortige Delogarithmierung führt auf

[tex]
- \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \\
e^{ - \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2} = e^{\ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x)} \\
e^{ \dots } = \sqrt{2+4x^2} - 2x
[/tex]

Auf der linken Seite kannst Du den Logarithmus nicht mit dem e gegeneinander wegheben, da der Logarithmus ja *zweimal* vorkommt.
(Es mag Ausnahmefälle geben, aber i.a. würde ich (sicherheitshalber) nur einen Log gegen ein e verrechnen...)

Du könntest aber zuerst auf der linken Seite den Logarithmus zusammenfassen zu:

[tex]
- \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \\
- \ln \left( (\sqrt{2+4x^2} + 2x) \cdot 2 \right) = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x)
[/tex]

Das sollte nun auch auf eine wahre Aussage führen...

@pple schrieb:

In der ersten Klammer fehlt bei der letzten 2 ein x. Entschuldige bitte!
War mein Ansatz denn richtig, mit der Potenz zu e?

Es muss im ersten Term also heißen [tex]-\ln( \sqrt{2+4x^2}+2x )[/tex]

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Ich komme irgendwie nicht auf die Gleichung. Ich schreibe mal meinen Rechenweg hier hin, da ist bestimmt ein grundlegender Rechenfehler drin.
Ich alle ln zur Potenz von e erhoben und erhalte:

[tex]\frac{1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}+2=\sqrt{2+4x^2}-2x[/tex]

weiter dann

[tex]\frac{1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}-(\sqrt{2+4x^2}-2x)=-2[/tex]

weiter durch Bilden des gemeinsamen Nenners auf der linken Seite

[tex]\frac{1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}-\frac{(\sqrt{2+4x^2}-2x)*({\sqrt{2+4x^2}+2x})}{\sqrt{2+4x^2}+2x}=-2[/tex]

nach dem Ausmultiplizieren erhalte ich

[tex]\frac{1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}-\frac{2+4x^2-2x\sqrt{2+4x^2}+2x\sqrt{2+4x^2}-4x^2}{\sqrt{2+4x^2}+2x}=-2[/tex]

weiter zusammengefasst

[tex]\frac{1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}-\frac{2}{\sqrt{2+4x^2}+2x}=-2[/tex]

weiter

[tex]\frac{-1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}=-2[/tex]

jetzt werde ich unsicher, was zu tun ist

[tex]-1=-2*{\sqrt{2+4x^2}+2x}[/tex]

ich habe jetzt alles quadriert, um die Wurzel loszuwerden

[tex]1=4*(2+4x^2)+4x^2[/tex]

und spätestens hier sehe ich, das wird nix 🙁

[tex]1=8+16x^2+4x^2[/tex]

Oh, ich bin zu spät! Aber es hat geübt! 😀

Aber schau doch bitte trotzdem noch mal auf meinen Weg, damit ich weiß, ob ich schon so grundsätzliche Fehler beim Umformen mache.

NBl schrieb:

Ich sehe, Du wirst ein LaTeX-Profi!!! 😉

Die Aufgabe würde ich nun wiefolgt lösen:

[tex]
- \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \\
\ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) + \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) \\
\ln 2 = \ln \left( (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \cdot (\sqrt{2+4x^2} + 2x) \right)
[/tex]

Nun kannst Du beide Seiten bequem delogarithmieren, dann die rechte Seite ausmultiplizieren, die Terme, die sich wegheben zusammenfassen und schießlich erhälst Du die Aussage

[tex]
2 = 2.
[/tex]

Voila, schon bist Du fertig! 😉

Das Problem bei Deinem Ansatz war folgendes: Die sofortige Delogarithmierung führt auf

[tex]
- \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \\
e^{ - \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2} = e^{\ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x)} \\
e^{ \dots } = \sqrt{2+4x^2} - 2x
[/tex]

Auf der linken Seite kannst Du den Logarithmus nicht mit dem e gegeneinander wegheben, da der Logarithmus ja *zweimal* vorkommt.
(Es mag Ausnahmefälle geben, aber i.a. würde ich (sicherheitshalber) nur einen Log gegen ein e verrechnen...)

Du könntest aber zuerst auf der linken Seite den Logarithmus zusammenfassen zu:

[tex]
- \ln (\sqrt{2+4x^2} + 2x) + \ln 2 = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x) \\
- \ln \left( (\sqrt{2+4x^2} + 2x) \cdot 2 \right) = \ln (\sqrt{2+4x^2} - 2x)
[/tex]

Das sollte nun auch auf eine wahre Aussage führen...

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Vielen DanK!! Also ich merke mir: sofort Delogarithmieren nur dann, wenn ich auf jeder Seite nur ein ln habe, ansonsten erst zusammenfassen.

@pple,

schön, daß Du Dir so viel Mühe gemacht hast, aber, leider-leider, hier, in der ersten Zeile, ist der Fehler (wo auch sonst...):

@pple schrieb:

[tex]\frac{1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}+2=\sqrt{2+4x^2}-2x[/tex]

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Du kannst entweder schreiben

[tex]
-\ln ( \sqrt{2+4x^2} + 2x ) + \ln 2 = \ln \left( \sqrt{2+4x^2} - 2x \right) \\
\ln \left( \frac{2}{\sqrt{2+4x^2} + 2x } \right) = \ln \left( \sqrt{2+4x^2} - 2x \right) \\
\frac{2}{\left( \sqrt{2+4x^2} + 2x \right) } = \left( \sqrt{2+4x^2} - 2x \right)
[/tex]

oder (so würde ich es machen)


[tex]
-\ln ( \sqrt{2+4x^2} + 2x ) + \ln 2 = \ln \left( \sqrt{2+4x^2} - 2x \right) \\
\ln 2 = \ln \left( \sqrt{2+4x^2} - 2x \right) + \ln \left( \sqrt{2+4x^2} + 2x \right) \\
\ln 2 = \ln \left( (\sqrt{2+4x^2} - 2x ) \cdot ( \sqrt{2+4x^2} + 2x ) \right) \\
2 = (\sqrt{2+4x^2} - 2x ) \cdot ( \sqrt{2+4x^2} + 2x )
[/tex]

Du solltest vor dem Delogarithmieren also mit den Logarthmusregeln die Gleichungen in eine Form bringen, in der steht

[tex]
\ln x = \ln y
[/tex]
und nicht
[tex]
\ln x + \ln y = \ln z
[/tex]

(Das gilt natürlich auch für den umgekehrten Fall mit e-Funktionen:
[tex] e^x = e^y [/tex] anstatt [tex] e^x + e^y = e^z [/tex])


Hier wäre noch ein kleiner Rechenfehler:

@pple schrieb:

[tex]\frac{-1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}=-2[/tex]

jetzt werde ich unsicher, was zu tun ist

[tex]-1=-2* ( \sqrt{2+4x^2}+2x ) [/tex]

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(geschweifte Klammern zeigt LaTeX nur an, wenn Du explizit eingibst
[tex] \{ [/tex] oder [tex] \} [/tex] . Sonst werden diese Klammern als Bestandteil eines Befehls gewertet, vgl. [tex] \sqrt{ ... }[/tex]

Es müßte heißen:

[tex]
\frac{-1}{\sqrt{2+4x^2}+2x}=-2\\
-1=-2*{\sqrt{2+4x^2}+2x}
[/tex]


PS: In LaTeX machst Du einen Malpunkt mit dem Befehl [tex] \cdot [/tex] ("center dot")

@pple schrieb:

Vielen DanK!! Also ich merke mir: sofort Delogarithmieren nur dann, wenn ich auf jeder Seite nur ein ln habe, ansonsten erst zusammenfassen.

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Bingo!

Ich habe leider noch einen kleinen Fehler entdeckt:

@pple schrieb:

[tex]-1=-2*{\sqrt{2+4x^2}+2x}[/tex]

ich habe jetzt alles quadriert, um die Wurzel loszuwerden

[tex]1=4*(2+4x^2)+4x^2[/tex]

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Das Quadrieren würde so funktionieren:

[tex]
-1=-2 \cdot (\sqrt{2+4x^2}+2x) \\
(-1)^2 = (-2 \cdot \sqrt{2+4x^2}+2x )^2
[/tex]

Erkennst Du auf der rechten Seite das Binom?

[tex]
1 = (-2 \cdot \sqrt{2+4x^2}+2x )^2 \\
1 = (-2)^2 \cdot (\underbrace{\sqrt{2+4x^2}}_a+\underbrace{2x}_b )^2
[/tex]

Jetzt ist es deutlich sichtbar - leider bleibt dann auch noch die Wurzel erhalten...

[tex]
1 = 4 \cdot \left( (2+4x^2) + 2 \cdot \sqrt{2+4x^2} \cdot 2x + 4 x^2 \right)
[/tex]


-------

Nachtrag: Du könntest die Wurzel loswerden, wenn Du die Wurzel auf einer Seite isolierst:

[tex]
-1=-2 \cdot (\sqrt{2+4x^2}+2x) \\
-1 +4x = -2 \cdot \sqrt{2+4x^2} \\
1-4x = 2 \cdot \sqrt{2+4x^2}
[/tex]

nun beide Seiten quadieren (jetzt steht links ein Binom)

[tex]
(1 -4x)^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2+4x^2})^2 \\
1 - 8x + 16x^2 = 4 \cdot (2+4x^2)
[/tex]

NBl schrieb:

Ich habe leider noch einen kleinen Fehler entdeckt:



Das Quadrieren würde so funktionieren:

[tex]
-1=-2 \cdot (\sqrt{2+4x^2}+2x) \\
(-1)^2 = (-2 \cdot \sqrt{2+4x^2}+2x )^2
[/tex]

Erkennst Du auf der rechten Seite das Binom?

[tex]
1 = (-2 \cdot \sqrt{2+4x^2}+2x )^2 \\
1 = (-2)^2 \cdot (\underbrace{\sqrt{2+4x^2}}_a+\underbrace{2x}_b )^2
[/tex]

Jetzt ist es deutlich sichtbar - leider bleibt dann auch noch die Wurzel erhalten...

[tex]
1 = 4 \cdot \left( (2+4x^2) + 2 \cdot \sqrt{2+4x^2} \cdot 2x + 4 x^2 \right)
[/tex]


-------

Nachtrag: Du könntest die Wurzel loswerden, wenn Du die Wurzel auf einer Seite isolierst:

[tex]
-1=-2 \cdot (\sqrt{2+4x^2}+2x) \\
-1 +4x = -2 \cdot \sqrt{2+4x^2} \\
1-4x = 2 \cdot \sqrt{2+4x^2}
[/tex]

nun beide Seiten quadieren (jetzt steht links ein Binom)

[tex]
(1 -4x)^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2+4x^2})^2 \\
1 - 8x + 16x^2 = 4 \cdot (2+4x^2)
[/tex]

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Vielen Dank, dass Du dir die Zeit genommen hast!
Ich werde jetzt mit den Klausuren für WiMa beginnen und diesen Thread heute abend nochmal überdenken! Du hast jetzt also ein bisschen Zeit für dein eigenes Studium. 😛