Mathe I - SA Kurseinheit 1 - Aufgabe 5

bernhardm schrieb:

Was ist bei meiner unteren Rechnung nun falsch???

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Der Anfang😉

Die HNF der Geraden müsste richtigerweise lauten:

... (-3, 2) . ...... . . . . . . . . . 8
------------ * (x1,x2) + ----------- = 0
Wurzel(13) . . . ........ . Wurzel(13)

und dann passt das auch. Aber: Warum einfach wenns auch kompliziert geht? "Wie man leicht sieht", ist das Produkt von Normalenvektor und dem Ortsvektor zu P gerade 8 (sieht ein geschultes Auge, auch ohne zu rechnen), und damit ergibt sich automatisch, dass P in g liegt.


mfg
Mickey

mickey schrieb:

... (-3, 2) . ...... . . . . . . . . . 8
------------ * (x1,x2) + ----------- = 0
Wurzel(13) . . . ........ . Wurzel(13)

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:hmmm:ich habe das bisher nur so gemacht! ... bloß, dass

(-3, 2)*(2/-1) + 8 = ?

viel einfacher zu der Lösung führt 😱 Natürlich nur für den Fall, dass nur entschieden werden muss, in welcher Richtung (in Richtung des Orthogonalenvektors, entgegen oder auf der Geraden) der Punkt liegt.

Das wäre ja echt easy 😀

Frage an den Mickeyntor

Geht das immer?

(Ausnahmen abweichend von der Normaltemperatur im totalen Vakuum bei Schwerelosigkeit brauchen nicht erklärt zu werden :rolleyes

Michael1709 schrieb:

:hmmm:ich habe das bisher nur so gemacht! ... bloß, dass

(-3, 2)*(2/-1) + 8 = ?

viel einfacher zu der Lösung führt 😱

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Bei der Frage, welchen Abstand ein Punkt zu einer Geraden bzw. Ebene oder was auch immer hat, setze ich immer zuerst (im Kopf) den Punkt mal eben in die entsprechende Gleichung ein - und wenn da Null rauskommt, isser drin. Spart dann halt ein wenig Rechnerei. Und sonst kann man am Vorzeichen immer noch sehen, wo der Punkt eigentlich liegt.

Der Hintergedanke ist recht einfach: Rein anschaulich ist die Hesse'sche Normalform zu ax-b=0 vermöge der Multiplikation mit 1/||a|| nur eine Art "Stauchung" der gegebenen Gleichung, sprich die Gleichungen zur "einfachen" Normalform und zur Hesse'schen Normalform bilden die gleiche Menge (an Punkten) ab, sind also letztlich gleich. Und wenn der Punkt in der einen drin ist, dann auch in der anderen. das ganze Geraffel mit Berechnung der Länge des Normalenvektors kann man sich also in gerade diesem Fall sparen.

Übrigens: Auch im Falle der totalen Schwerelosigkeit klappt das meistens, allerdings dann nur näherungsweise, für sehr kleine Werte von 0.😀

So, und nun als Übungsaufgabe für den Fall, dass p nicht in der Gleichung liegen sollte, folgende Überlegung: Beim Einsetzen des Punktes p in ax-b erhalte ich eine Zahl z<>0. In welchem Verhältnis steht diese zum Abstand von p zu ax-b. Als zugrundeliegender Vektorraum soll der C42 dienen 😎. Hilfsweise ein beliebiger anderer endlichdimensionaler VR.


mfg
Mickey

mickey schrieb:

So, und nun als Übungsaufgabe für den Fall, dass p nicht in der Gleichung liegen sollte, folgende Überlegung: Beim Einsetzen des Punktes p in ax-b erhalte ich eine Zahl z<>0. In welchem Verhältnis steht diese zum Abstand von p zu ax-b. Als zugrundeliegender Vektorraum soll der C42 dienen 😎. Hilfsweise ein beliebiger anderer endlichdimensionaler VR.

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Erstmal vielen Dank, Mickey!

Das Verhältnis ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Vektorkomponenten der Geradengleichung.

hmmm, bißchen umständlich ausgedrückt...

Anders ausgedrückt: Ich muss noch durch den Betrag aus a teilen, um den genauen Abstand zu erhalten. a errechnet sich dabei aus Wurzel (X1^2+X2^2+...je nach Vektorraum). Was Vektorraum C42 bedeutet, kann ich beim besten Willen nicht deuten. Lese ich heute abend mal im Skript nach. Ich kenne nur die Schreibweise Rx. Das C könnte ja noch (nur spekuliert) für den 3. Buchstaben des Alphabets stehen, also R3. Aber die 42 😕

Gruß, Michael

Michael1709 schrieb:

Das Verhältnis ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Vektorkomponenten der Geradengleichung.

hmmm, bißchen umständlich ausgedrückt...

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Naja, nur geringfügig konfus😉

Michael1709 schrieb:

Anders ausgedrückt: Ich muss noch durch den Betrag aus a teilen, um den genauen Abstand zu erhalten. a errechnet sich dabei aus Wurzel (X1^2+X2^2+...je nach Vektorraum).

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Für unsere R-Vektorräume kann man das mal so stehen lassen. Vereinfaht gesagt: d = z/||a||. Mehr wollte ich eigentlich nicht wissen... herauszufinden was sich dahinter alles verbirgt, muss ich dir selbst überlassen.

Michael1709 schrieb:

Was Vektorraum C42 bedeutet, kann ich beim besten Willen nicht deuten. Lese ich heute abend mal im Skript nach. Ich kenne nur die Schreibweise Rx. Das C könnte ja noch (nur spekuliert) für den 3. Buchstaben des Alphabets stehen, also R3. Aber die 42 😕

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😀😀😀 Eigentlich wollte ich sagen, dass es vollkommen egal ist, in welchem Vektorraum du obige Überlegungen anstellst - dabei hab ich ganz bewusst diese Version gewählt; schon um ein Signal zu setzen dass es auch ohne geht. Der C42 ist nichts anderes als ein 42dimensionaler VR über dem Körper der komplexen Zahlen (wohingegen wir uns bislang nur mit R befasst haben). Halt so richtig schön kompliziert, um mein Anliegen der Unabhängigkeit dieser Überlegungen von der Dimension des VR oder gar dem zugrundeliegenden Skalarenkörper zu betonen. Im Skript wirst du vermutlich nichts dazu finden.

In genau diese Falle drohtest du selbst gerade auch zu tappen: Nämlich die Betrachtung nur im R3 durchzuführen, ja selbst im Rn ists noch zu stark auf einen Spezialfall bezogen (ok, dass es zu jedem n-dimensionalen VR über R mit n < oo eine Bijektion auf den Rn gibt und sich die Fragestellung damit wieder darauf zurückführen lässt, ist noch eine andere Geschichte...)

Aber beruhige dich: Solch perverse Ausgeburten können nur einem Mathematiker einfallen, für den Hausgebrauch reicht der R3. Und die 42 hab ich auch nur gänzlich zufällig gewählt, ohne dabei an irgendwas zu denken😛

mfg
Mickey

mickey schrieb:

Für unsere R-Vektorräume kann man das mal so stehen lassen. Vereinfaht gesagt: d = z/||a||. Mehr wollte ich eigentlich nicht wissen... herauszufinden was sich dahinter alles verbirgt, muss ich dir selbst überlassen.

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Ach, das reicht mir eigentlich. Die Chance, 110 % in der Klausur zu erreichen (durch Korrektur der Aufgabenstellung :fiesgrins) möchte ich dir allein überlassen 😛

P.S.: Wußtest Du, dass 150 % der Menschheit kein Prozentrechnen kann? :rolleyes

Michael1709 schrieb:

P.S.: Wußtest Du, dass 150 % der Menschheit kein Prozentrechnen kann? 🙄

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Naja, ist halt so eine Sache mit der Menschheit... Aber auch nicht soo tragisch, da es ja - wie Du sicher wissen dürftest - nur 10 Arten von Menschen gibt: Solche, die mit Binärzahlen umgehen können, und solche, die es nicht können😀
mfg
Mickey