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Matrix Inverse

M

Merkur

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wie berechne ich Inverse einer 2x2 Matrix? Kann mir jemand anhand eines Beispiels

2 1
3 1

helfen? Ist eine Berechnung anhand der Determinante möglich?
 
Außer der Methode aus dem Anhang (die ich nicht empfehlen würde, weil sie i.A. zu aufwendig ist), gibt es noch den Weg über den Gauss-Algorithmus.

Du schreibst die Matrix und die gleichgroße Einheitsmatrix nebeneinander: A | I
Dann führst du mit A die üblichen elementaren Zeilenoperationen durch. Gleichzeitig natürlich mit I. Wenn man Ende aus A die Einheitsmatrix geworden ist, ist rechts aus der Einheitsmatrix die Inverse von A geworden: I | [tex]A^{-1}[/tex]
Wenn nicht, ist die Matrix nicht invertiertbar.

(Es gibt auch noch einen Weg (über den Adjunktensatz), der eine direkte Formel für die Inverse liefert, aber den kann ich mir nie merken und spar mir das deshalb.)
 
ich habe genauso wie du gerechnet.
Wenn ich jedoch bei der Matrix 2 1 die 1 in der ersten Zeile als Pivotelement wähle, kommt bei mir ein falsches Ergebnis raus. Wieso kann ich diese 1 nicht als Pivotelement wählen?
3 1
 
@Chris* Hey, ich habe genauso wie du gerechnet.

Wenn ich jedoch bei der Matrix 2 1 die 1 in der ersten Zeile als Pivotelement wähle, kommt bei mir ein falsches Ergebnis raus. Wieso kann ich diese 1 nicht als Pivotelement wählen?
 
MichiB schrieb:
@Chris* Hey, ich habe genauso wie du gerechnet.
Zum Vergrößern anklicken....
Ich hab nicht gerechnet.

Wenn ich jedoch bei der Matrix 2 1 die 1 in der ersten Zeile als Pivotelement wähle, kommt bei mir ein falsches Ergebnis raus. Wieso kann ich diese 1 nicht als Pivotelement wählen?
Zum Vergrößern anklicken....
Vermutlich hast du dich verrechnet. Du kannst die 1 rechts oben auch als Pivotelement nehmen. Das ist dann zwar nicht der Gauss-Algorithmus, und du musst am Ende nochmal die Zeilen vertauschen, aber prinzipiell geht das.
 
@Merkur: Schritt a) bedeutet: Zeile II soll gleich 2 mal die Zeile II minus 3 mal die Zeile I. (Ich habe mich oben vertippt, wo II=2II-3III steht, soll II = 2II - 3I stehen) Dies mache ich um linksunten eine Null zu bekommen, denn (2*3 - 3*2 = 0!)Schritt b) bedeutet: Zeile I + Ziele II, denn 1+(-1) = 0 ! Beide angeben muss ich für alle Spalten machen.@MichiB: So wie chris* sagt, verwechsle Gauss-Algorithmus nicht mit Simplextablaeu !!! In Gauss wird kein Pivotelement benutzt. (dieser Satz ist quatsch!!!)
 
Erstmal musst du wissen, ob die Matrix überhaupt invertierbar ist. Das findest du raus, indem du die Determinante berechnest.
detA = a*d - c*b = 2*1 - 3*1 = -1 also ungleich 0, d.h. es gibt auch eine Inverse.

Also ein ganz einfacher Rechenweg ist dieser hier:
A= a b
c d

Dann kannst du rechnen
A^-1 = 1/ a*d - c*b * d -b
-c a

A= 2 1
3 1

Das ergibt dann in unserem Fall:
A^-1 = 1/2*1 - 3*1 * 1 -1
-3 2

= -1 * 1 -1
-3 2

= -1 1
3 -2


Entschuldigt die Schreibweise, aber ich weiss nicht, wie man hier schöne Formeln schreibt
 
Dr Franke Ghostwriter
Pivotisieren ist die Operation, bei der du ein Element wählst (das Pivotelement) und dann durch elementare Zeilenoperationen dafür sorgst, dass es zu 1 und alle anderen Elemente in derselben Spalte zu 0 werden. Bei dem Beispiel
2 1
3 1

würde man erst um die 2 links oben pivotisieren (erste Zeile durch 2 teilen, von der zweiten Zeile 3/2 der ersten Zeilen abziehen):

1 0,5
0 -0,5

dann um die -0,5 rechts unten pivotisieren (zweite Zeile auf erste Zeile addieren, zweite Zeile mit -2 multiplizieren):

1 0
0 1

Die rechte Spalte bzw. Matrix (beim Invertieren) hab ich jetzt mal weggelassen.
 
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