Nutzenfunktion/Präferenzordnung

Drea,

jede reelle Funktion U: R^2 -> R bildet genau eine Präferenzordnung ab, wenn sie jedem Paar (X, Y) mit X >= 0 und Y >= 0 einen Wert zuordnet.

Die Präferenzrelation >präf ist dann mit Hilfe von U wie folgt definiert:

A >präf B genau dann, wenn U(A) > U(B)

A ~präf genau dann, wenn U(A) = U(B)

Zunächst ist >präf tatsächlich eine Präferenzordnung, weil >präf alle Eigenschaften einer Präferenzordnung erfüllt, denn sie ist:

1. Vollständig, da U jedem (X, Y) mit X >= 0 und Y >= 0 einen Wert zuordnet.

2. Reflexiv, da U(A) = U(A) für alle A

3. Transitiv, da > auf den reellen Zahlen transitiv ist

Ausserdem ist >präf eindeutig bestimmt, denn U ist eine Funktion.

Beachte aber, dass die zusätzlichen Eigenschaften, die mitunter von einer Präferenzordnung gefordert werden, z.B. Stetigkeit und Nichtsättigung, auch weitere Eigenschaften der sie beschreibenden Nutzenfunktionen erfordern.

Liebe Grüße

kannst Du mir evtl. auch eine Frage zur Präferenzordnung beantworten? Aufgabe 23 in KE 1 ist für mich unverständlich. Ich würde die Frage, ob die angegebenen Funktionen die gleiche Präferenzordnung beschreiben nämlich mit "ja" beantworten, da beide (meines Erachtens) streng monoton steigend sind. Die Lösung sagt aber "nein". Nur leider verstehe ich die Begründung einfach nicht.

Wäre für jeden Hinweis dankbar!

Lieben Gruß
Claudia

Clanbs schrieb:

Hallo Chrissi,

kannst Du mir evtl. auch eine Frage zur Präferenzordnung beantworten? Aufgabe 23 in KE 1 ist für mich unverständlich. Ich würde die Frage, ob die angegebenen Funktionen die gleiche Präferenzordnung beschreiben nämlich mit "ja" beantworten, da beide (meines Erachtens) streng monoton steigend sind. Die Lösung sagt aber "nein". Nur leider verstehe ich die Begründung einfach nicht.

Wäre für jeden Hinweis dankbar!

Lieben Gruß
Claudia

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Hallo Claudia,

Es kommt nicht darauf an, dass beide Nutzenfunktionen streng monoton steigen. Es kommt darauf an, dass die Transformationsfunktion h streng monoton steigt und V(Y, Y) = h(U(X, Y)) für alle Güterbündel (X, Y) gilt. Mir liegt die Aufgabe nicht vor. Wenn Du hier die beiden Nutzenfunktionen nennst, kann ich genauer begründen (z.B. ein Gegenbeispiel angeben).

Beachte: Selbst wenn beide Nutzenfunktionen streng monoton steigen, kann die eine in in einem Bereich stärker steigen als die andere und in einem anderen Bereich langsamer, d.h. es kann zu gegenseitigen "Nutzwert-Überholungen" kommen.

Liebe Grüße

nochmal,

vielen lieben Dank für die schnelle Antwort. So ganz habe ich es leider aber immer noch nicht verstanden...

Die Funktionen lauten U=X1^2+X2^2 und V=(X1+X2)^2

Lieben Gruß zurück

Clanbs schrieb:

Die Funktionen lauten U=X1^2+X2^2 und V=(X1+X2)^2

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U und V bilden nicht dieselbe Präferenzordnung ab, betrachte folgendes Gegenbeispiel:

Güterbündel (1, 3) und (2, 2)

U(1, 3) = 1^2 + 3^2 = 10

U(2, 2) = 2^2 + 2^2 = 8

Es gilt also U(1, 3) = 10 > 8 = U(2, 2) , d.h. in der Präferenzordnung zu U wird Güterbündel (1, 3) dem Güterbündel (2, 2) vorgezogen.

V(1, 3) = (1 + 3)^2 = 16

V(2, 2) = (2 + 2)^2 = 16

Es gilt also V(1, 3) = 16 = V(2, 2) , d.h. in der Präferenzordnung zu V sind die Güterbündel (1, 3) und Güterbündel (2, 2) indifferent (keines wird vorgezogen).

Also: in der Präferenzordnung zu U wird Güterbündel (1, 3) dem Güterbündel (2, 2) vorgezogen.

Aber: in der Präferenzordnung zu V sind die Güterbündel (1, 3) und Güterbündel (2, 2) indifferent (keines wird vorgezogen).

Damit: U und V bilden nicht dieselbe Präferenzordnung ab!


Betrachte aber folgende Nutzenfunktionen:

U(X1, X2) = X1^2 + 2 * X1 * X2 + X2^2

V(X1, X2) = (X1 + X2)^2

Sei h(X) = X, dann gilt (1) und (2):

(1) h'(X) = 1 > 0 d.h. h ist überall streng monoton steigend

(2)

h(V(X1, X2))
= V(X1, X2) ..................................// Definition von h: h(X) = X
= (X1 + X2)^2 ..............................// Definition von V
= X1^2 + 2 * X1 * X2 + X2^2 ........// Binomische Formel
= U(X1, X2) .................................// Definition von U

Also gilt: h(V(X1, X2)) = U(X1, X2)

Wegen (1) und (2) ist U eine streng monoton steigende Transformation von V, d.h. U und V bilden dieselbe Präferenzordnung ab.

Der Trick bei der streng monoton steigende Transformation: Die Reihenfolgen der Nutzwerte bleiben bei der Transformation erhalten.

Liebe Grüße

Dankeschön für Deine Mühe! Jetzt ist der Groschen endlich gefallen