Hallo liebe Kommilitonen,
ich studiere seit diesem Semester VWL an der Fernuni Hagen (auf Master). Im Skript von Herrn Endres "Theorie der Marktwirtschaft, Kurseinheit 2: Theorie des Haushalts" bin ich auf eine Formel gestoßen, die ich mir nicht erklären kann:
U = U(X) bildet eine Präferenzordnung ab (soweit, so klar)
V(X) = F[U(X)] bei F'>0 bildet dieselbe Präferenzordnung ab.
Bei der zweiten Formel hakt es leider. Woher nimmt er auf einmal V und F? Kann mir jemand diese gesamte zweite Formel erklären?
Wahrscheinlich verstehe ich es nicht, weil mir einige Basics in Mathe fehlen. Aber das macht nichts, ich bin lernwillig 🙂
Vielen Dank!
Holger
Hallo Holger,
du bist derzeit im Thema der Präferenzen und Nutzenfunktionen.
Deine obige Formel sagt folgendes aus.
Wenn du eine Nutzenfunktion U hast, die deine Präferenzordnung abbildet. So ist U nicht die einzige Nutzenfunktion, die das macht. Es gibt noch unendlich viele andere.
Um zu zeigen, dass eine andere Nutzenfunktion (z.B. V) die Präferenzordnung identisch abbildet, musst du nachweisen dass die Nutzenfunktions V aus einer streng monoton steigenden Transformation aus U zu errechnen ist.
Genau das ist oben beschrieben.
Nun ein Beispiel:
Die Nutzenfunktion U = X1 * X2 bildet deine Präferenzordnung ab.
Dann bildet auch die Nutzenfunktion V = 1/2 * (X1 * X2) deine Präferenzordnung ab,
denn,
wenn du auf U die Funktion F (man halbiere jeden Wert von U) anwendest, dann erhältst du U (daher ist hier V = F[U(X)] ). Das ist die Transformation! Also V = 1/2 * U
Zusätzlich muss für die Transformation gelten, dass sie streng monoton steigend ist (also dass F' > 0 ist. Die Antwort erhältst du wenn du nun V nach U ableistest: V' = 1/2, das ist größer 0 daher ist F eine streng monoton steigende Transformation.
2. Beispiel
Die Nutzenfunktion U = X1 * X2 bildet deine Präferenzordnung ab.
Dann bildet auch die Nutzenfunktion V = (X1 * X2) - 5 deine Präferenzordnung ab,
denn,
V = U - 5 (Transformation)
V' = 1 (daher streng monoton steigende Transformation)
Somit bilden U und V dieselbe Präferenzordnung ab.
3. Beispiel
Die Nutzenfunktion U = X1 * X2 bildet deine Präferenzordnung ab.
Bildet auch die Nutzenfunktion V = -(X1 * X2) deine Präferenzordnung ab? Nein, denn
V = -U (Transformation gegeben)
V' = -1 (aber streng monoton fallende Transformation)
Somit bilden U und V nicht dieselbe Präferenzordnung ab. U und V sortieren unterschiedlich!
4. Beispiel
Die Nutzenfunktion U = X1 * X2 bildet deine Präferenzordnung ab.
Bildet auch die Nutzenfunktion V = (X1 * X2² deine Präferenzordnung ab? Nein, denn
es gibt keine Transformation (damit muss ich die Steigung der Transformation auch nicht mehr bestimmen).
Somit bilden U und V nicht dieselbe Präferenzordnung ab. U und V sortieren unterschiedlich!
Ich hoffe, dass ich dir geholfen habe,
Luvan
