Optimale Inflationsrate/Arbeitslosenrate

Klausur 09/2010 Aufgabe 6 ist stofflich Makro II KE 1 S. 87 ff. "Kontrolltheorie".

Die zu minimierende Funktion in pi ist durch (1) gegeben: theta(pi) = a * pi^2 + b * U^2

Die Nebenbedingung ist durch (2)-(4) gegeben: U = Un - c * pi

Die Nebenbedinung für U wird in die Funktion thetat(pi) eingesetzt und diese minimiert. Damit erhält man die optimale (minimale) Inflationsrate pi, nach der in a) gefragt ist:

theta(pi)
= a * pi^2 + b * U^2
= a * pi^2 + b * (Un - c * pi)^2
= a * pi^2 + b * Un^2 - 2 * b * c * Un * pi + b * c^2 * pi^2

dtheta/dpi
= 2 * a * pi - 2 * b * c * Un + 2 * b * c^2 * pi
= 2 * pi * (a + b * c^2) - 2 * b * c * Un

Extremwerte:

2 * pi * (a + b * c^2) - 2 * b * c * Un = 0

pi = b * c * Un / (a + b * c^2)

Die minimale (optimale) Inflationsrate ist piopt = b * c * Un / (a + b * c^2)

(Das ist tatsächlich ein Minimum, denn die Ableitung von dtheta/dpi ist 2 * (a + b * c^2) > 0)

Die optimale Arbeitslosenrate Uopt ist jetzt:

Uopt
= Un - c * piopt
= Un - b * c^2 * Un / (a + b * c^2)
= (Un * a + Un * b * c^2 - b * c^2 * Un) / (a + b * c^2)
= Un * a / (a + b * c^2)

Die optimale Arbeitslosenrate ist Uopt = Un * a / (a + b * c^2)

Liebe Grüße

Alternativ auch mit Herrn Lagrange lösbar.
Dazu habe ich anschaulicherweise die Nebenbedingung nach Un umgestellt, da Un ja bekannt ist und quasi von den Akteuren in der analysierten Volkswirtschaft abhängt.

Oder einfach KE 2 zu Makro II, Seite 40 ff

super verständlich....bei Uopt, wurde da auch nochmal abgeleitet? ich steige nämlich durch das einsetzen des Nenners oben in die Gleichung nicht, den dritten Schritt bei Uopt:

Uopt
= Un - c * piopt
= Un - b * c^2 * Un / (a + b * c^2)
= (Un * a + Un * b * c^2 - b * c^2 * Un) / (a + b * c^2)
= Un * a / (a + b * c^2)

shortywiss schrieb:

super verständlich....bei Uopt, wurde da auch nochmal abgeleitet?

Zum Vergrößern anklicken....

Nein, nur alles auf einen Bruchstrich gebracht.

shortywiss schrieb:

ich steige nämlich durch das einsetzen des Nenners oben in die Gleichung nicht, den dritten Schritt bei Uopt:

Zum Vergrößern anklicken....

Ich füge mal ein paar Zwischenschritte und ein paar Klammern ein, die das verdeutlichen:
Uopt
= Un - (c * piopt) --> piopt einsetzen
= Un - (b * c^2 * Un) / (a + b * c^2) - Un am Anfang so erweitern, dass nachher alles auf auf einen Bruchstrich geschrieben werden kann:
= Un (a + b * c^2)/ (a + b * c^2) - ( b * c^2 * Un) / (a + b * c^2)[/COLOR]
= [Un (a + b * c^2)[/COLOR] - ( b * c^2 * Un)][/COLOR]/(a + b * c^2)[/COLOR]
= (Un * a + Un * b * c^2 - b * c^2 * Un) / (a + b * c^2)
= Un * a / (a + b * c^2)

ah ja klar..... nun ist es klr.... Un war ja vorher noch vor dem Bruchstrich..... da sahen meine Schmierzettel leider auch zu unübersichtlich aus.... danke!