Problem beim Lösen einer Aufgabe mit Multiplikatoren

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Rebecca Kraus

Dr Franke Ghostwriter
ich wollte diese Aufgabe lösen. Allerdings habe ich das Problem, wie ich bei der 4. Gleichung die 1. Ableitung bilden soll und dementsprechend auch die Sarrusche Regel anwenden soll. Wäre dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte.

Gruß
Rebecca
 

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Hmm.
Sind alle Variablen wirklich endogen? Oder gibt es hier auch exogene?

Tipp: Microsoft Formel Editor verwenden in Word mit "Einfügen -> Objekt -> Microsoft Formel-Editor"

Falls Du das Objekt "Microsoft Formel-Editor" nicht einfügen kannst, tu die Word-Installations-CD nochmal rein und dann installiere diese Komponente nach (benutzerdefinierte Installation).
 
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(1) S(Y-T) = I(i) + G - T
(2) Y = Y(N, K)
(3) W/P = Y[N](N, K)
(4) M/P = b * Y - g * i

Mit dT = dG = dK = dW = dM = dg = 0 sind die totalen Differentiale:

(1) S[Y-T] * dY = I * di
(2) dY = Y[N] * dN
(3) -W/P^2 * dP = Y[NN] * dN
(4) -M/P^2 * dP = b * dY + Y * db - g * di

Liebe Grüße
 
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ChrissiLLB schrieb:
(1) S(Y-T) = I(i) + G - T
(2) Y = Y(N, K)
(3) W/P = YN(N, K)
(4) M/P = b * Y - g * i

Mit dT = dG = dK = dW = dM = dg = 0 sind die totalen Differentiale:

(1) S[Y-T] * dY = I * di
(2) dY = Y[N] * dN
(3) -W/P^2 * dP = Y[NN] * dN
(4) -M/P^2 * dP = b * dY + Y * db - g * di

Liebe Grüße
Chrissi
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So sehen meine Ableitungen auch aus. Hast Du mal die Determinanten etc berrechnet? Komme gerade nicht auf das von Rebecca im Anhang angegeben Ergebnis. Muss da mal heute Abend in Ruhe drüberschauen.

@Rebecca: Aus welcher Klausur ist denn die Aufgabe?
 
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Meine Lösung:

(1) S(Y-T) = I(i) + G - T
(2) Y = Y(N, K)
(3) W/P = Y[N](N, K)
(4) M/P = b * Y - g * i

(3) und (4) umgestellt:

(1) S(Y-T) = I(i) + G - T
(2) Y = Y(N, K)
(3) W = P * Y[N](N, K)
(4) M = P * (b * Y - g * i)

Total differenziert:
(1) S[Y-T] * dY = I * di
(2) dY = Y[N] * dN
(3) 0 = Y[N] * dP + P * Y[NN] * dN
(4) 0 = (b * Y - g * i) * dP + P * (Y * db + b * dY - g * di)

Gleichung (2) durch Ersetzung von dY eliminieren:

(1) S[Y-T] * Y[N] * dN = I * di
(2) ...
(3) 0 = Y[N] * dP + P * Y[NN] * dN
(4) 0 = (b * Y - g * i) * dP + P * (Y * db + b * Y[N] * dN - g * di)

Gleichungen für die Martixschreibweise A * (dN, di, dP) = z umstellen:

(1) S[Y-T] * Y[N] * dN - I * di = 0
(2) ...
(3) P * Y[NN] * dN + Y[N] * dP = 0
(4) P * b * Y[N] * dN - P * g * di + (b * Y - g * i) * dP = - P * Y * db

Fortsetzung folgt ...
 
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Matrixschreibweise:

A =

S[Y-T] * Y[N]......-I..........0
P * Y[NN]............0.............+Y[N]
P * b * Y[N]........-P * g.......+ (b * Y - g * i)

x = (dN, di, dP)

z = (0, 0, - P * Y * db)

Determinaten:

det(A)
= -I * P * b * Y[N]^2 + P * g * Y[N]^2 * S[Y-T] + (b * Y - g * i) * P[/COLOR] * Y[NN] * I
= -I * P * b * Y[N]^2 + g * Y[N]^2 * S[Y-T] + M[/COLOR] * Y[NN] * I

det(dN) = I * Y[N] * P * Y * db

Lösung von dN und dN/db:

dN
= det(dN) / det(A)
= I * Y[N] * P * Y * db / (-I * P * b * Y[N]^2 + P * g * Y[N]^2 * S[Y-T] + M * Y[NN] * I)
= I * Y[N] * Y * db / (-I * b * Y[N]^2 + g * Y[N]^2 * S[Y-T] + M/P * Y[NN] * I)
= I * Y[N] * Y * db / (g * Y[N]^2 * S[Y-T] + I * (M/P * Y[NN] - b * Y[N]^2)

dN/db = I * Y[N] * Y / (g * Y[N]^2 * S[Y-T] + I * (M/P * Y[NN] - b * Y[N]^2)

Liebe Grüße
 
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ChrissiLLB schrieb:
Matrixschreibweise:

A =

S[Y-T] * Y[N]....-I......0
P * Y[NN]..........0..........+Y[N]
P * b * Y[N]......-P * g.. ..+ (b * Y - g * i)

x = (dN, di, dP)

z = (0, 0, - P * Y * db)

Determinaten:

det(A)
= -I * P * b * Y[N]^2 + P * g * Y[N]^2 * S[Y-T] + (b * Y - g * i) * P * Y[NN] * I
= -I * P * b * Y[N]^2 + g * Y[N]^2 * S[Y-T] + M * Y[NN] * I

det(dN) = I * Y[N] * P * Y * db

Lösung von dN und dN/db:

dN
= det(dN) / det(A)
= I * Y[N] * P * Y * db / (-I * P * b * Y[N]^2 + P * g * Y[N]^2 * S[Y-T] + M * Y[NN] * I)
= I * Y[N] * Y * db / (-I * b * Y[N]^2 + g * Y[N]^2 * S[Y-T] + M/P * Y[NN] * I)
= I * Y[N] * Y * db / (g * Y[N]^2 * S[Y-T] + I* (M/P * Y[NN] - b * Y[N]^2)

dN/db = I * Y[N] * Y / (g * Y[N]^2 * S[Y-T] + I * (M/P * Y[NN] - b * Y[N]^2)

Liebe Grüße
Chrissi
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Hallo Chrissi,

vielen Dank. Bei mir passt die Rechnung mittlerweile auch 🙂

Grüße
 
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