seite 109 minimum

Sara,

als Beispiel betrachte KE 1 Seite 111 Aufgabe 6.

Hier ist der Zusammenhang zwischen (Fertigungs-)Intensität und Stückkosten gegeben durch:

k(x) = 0,02 * x^2 - x + 50

Mögliche Intensität der Maschine: 0 <= x <= 40 = xmax

Mögliche Produktionsdauer: 0<= t <= 10 = tmax

Die Variable x ist die jeweilige Intensität ("Machinen-Power") und k(x) gibt die Kosten pro Stück an, wenn mit dieser Intensität x produziert wird. Wegen 0 <= x <= 40, kann die Intensität höchstens 40 betragen, d.h. xmax = 40.

Erste Frage:

Bei welcher optimalen Intensität xopt wird am preiswertesten produziert, d.h. bei welcher Intenität sind die Stückkosten minimal?

Minimum-Bestimmung, erste Ableitung von k Null setzen:

k'(x) = 0,04 * x - 1 = 0 falls x = 25

Also: Es wird stückkostenminimal produziert, wenn die Maschine mit der optimalen Intensität x = xopt = 25 betrieben wird, es ist xopt = 25 <= 40 = xmax, d.h. mit der Intensität xopt = 25 kann auch tatsächlich produziert werden.

Die minimalen Stückkosten kmin sind
kmin
= k(xopt)
= k(25)
= 0,02 * 25^2 + - 25 + 50
= 37,5

Zweite Frage:

Wieviel (d.h. welche maximale Ausbringungsmenge M) kann mit der optimalen Intensität xopt produziert werden?

Hier ist die zeitliche Beschränkung zu beachten, es gilt 0<= t <= 10 = tmax, d.h. die Maschine kann maximal die Dauer tmax = 10 laufen.

Es ist M = x * t, wobei x = xopt = 25 die optimale Intensität ist, mit der produziert werden soll. Da t = tmax = 10 die maximale Dauer ist, mit der produziert werden kann, gilt nun für die maximale Ausbringungsmenge

M = xopt * tmax = 25 * 10 = 250

Im Intervall 0 <= M <= xopt * tmax = 25 * 10 = 250

kann nun durch zeitliche Anpassung (0 <= t <= tmax = 10) mit der optimalen Intensität xopt = 25 eine beliebige Ausbringungsmenge M <= 250 produziert werden.

Dieser Bereich heißt zeitliche Anpassung, da die Intenität konstant bleibt (optimale Intensität xopt = 25) und je nach gewünschter Ausbringungsmenge die Produktionsdauer zwischen 0 und tmax = 10 variiert wird.

Dritte Frage:

Wie kann die Ausbringungsmenge noch erhöht werden?

Läuft die Maschine mit der optimalen Intensität xopt = 25 die maximale Dauer tmax = 10, so wird stückkostenminimal eine maximale Ausbringungsmenge M = xopt * tmax = 25 * 10 = 250 produziert. Die Produktion kann durch zeitliche Anpassung nicht erhöht werden, denn sie läuft bereits maximal lange (tmax = 10). Man kann aber durch Erhöhung der Intensität x bis zur maximalen Intensität xmax = 40 die Ausbringungsmenge erhöhen. Dies geschieht dann aber nicht mehr stückkostenminimal, da nur bei Intensität xopt stückkostenminimal produziert wird.

Wegen M = x * t ist die maximale Ausbringungsmenge durch Erhöhung der Intensität auf das Maximum xmax = 40 und dem maximal langen Betrieb der Maschine tmax = 10:

M = xmax * tmax = 40 * 10 = 400

Durch die Anpassung der Intensität im Bereich 25 = xopt <= xmax = 40, kann also die Ausbringungsmenge erhöht werden (aber nicht mehr stückkostenminimal).

Dieser Bereich heißt intensitätsmäßige Anpassung, da die Zeitdauer konstant bleibt (maximale Dauer tmax = 10) und je nach gewünschter Ausbringungsmenge die Intensität zwischen xopt = 25 und xmax = 40 variiert wird.

Es gibt also zwei Produktionsbereiche:

1. Zeitliche Anpassung
- Intensität x konstant x = xopt = 25 (stückkostenminimal)
- Variation Zeitdauer t in 0 <= t <= tmax = 10
- Intervall: 0 <= M <= xopt * tmax = 25 * 10 = 250

2. Intensitätsanspassung
- Variation Intensität x in xopt <= x <= xmax = 40
- Zeitdauer t konstant t = tmax = 10
- Intervall: 250 = 25 * 10 = xopt * tmax < M <= xmax * tmax = 40 * 10 = 400

Liebe Grüße