Supremum und Infimum

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Rincewind

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Dr Franke Ghostwriter
Nachdem ich über die Suchfunktion nichts richtiges gefunden habe, dachte ich, ich starte mal einen Thread zum Thema, um es ein für alle mal zu klären - denn irgendwie komme ich mit der Definition von Suprema, Infima, Minima und Maxima nicht ganz klar. Ich habe zwar ungenaue Vorstellungen, aber von denen möchte ich Euch vorerst verschonen.

Hier also meine beiden Fragen:

1) Könnte jemand mal bitte ein Beispiel für eine Funktion (oder mehrere) nennen, indem es neben den beiden Schranken Supremum und Infimum von f auf eine Menge A noch weitere Schranken gibt? Wenn ich nur eine Funktion hätte, die diese UND noch weitere Schranken aufweist, wäre mir sehr geholfen.

2) Könnte außerdem jemand die Begriffe Minimum, Maximum, Supremum und Infimum mal genau gegeneinander abgrenzen?

Vielen Dank im Voraus!
 
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Grundsätzlich ist eine Schranke ein Funktionswert (= y-Wert). Supremum und Infimum sind besondere Schranken, die direkt aus der Funktion abzuleiten sind. Wenn ich z.B. f(x) = x^2 habe, dann ist das Supremum das Maximum dieser Funktion. Frage dazu: an welchem x0 ist diese Funktion maximal ? Du mußt also den Extremwert (x-Wert) über 1. und 2. Ableitung berechnen und zur Ermittlung der Schranke (y-Wert) in die Ausgangsfunktion einsetzen, um den Funktionswert zu ermitteln. Beim Infimum mußt Du das Moinimum ermitteln. Ansonsten siehe Supremum.

Ich merke mir die Schranken wie folgt:
Spuremum = Maximum (= kleinste obere Schranke)
Infimum = Minimum (= größte untere Schranke)

Beachte: es gibt z.B. beim Supremum noch mehr Schranken, die größer sein können, ist das Supremum z.B. 0, dann sind alle Werte > 0 ebenfalls obere Schranken. Ist das Infimum z.B. -3, dann sind alle Werte < -3 ebenfalls untere Schranken.
 
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zu 1) Alle Funktionen, die nicht gegen - und + unendlich gehen haben Schranken. f(x)=x^3 z.B. hat keine Scranken, da jeder vorstellbare y-Wert erreicht werden kann.
f(x)=x^2 ist nach unten beschränkt. Eine Schranke ist ein y-Wert, der nicht über- oder unterschritten wird. Aber wie viele untere Schranken hat x^2? - unendlich viele, z.B. werden -1 oder -17 oder -0,635 nicht unterschritten. Jetzt hat diese Funktion aber ein Minimum im Punkt (0,0). D.h. der y-Wert 0 ist der kleinste y-Wert, der überhaupt erreichbar ist. Dieses Minimum stellt damit auch gleichzeitig die größte untere Schranke dar und die nennt man Infimum.
Umgekehrt würde z.B. bei einer nach unten geöffneten Parabel das Maximum gerade den y-Wert beinhalten, den man als kleinste obere Schranke (Supremum) verwenden kann. Oberhalb dieses Wertes gibt es aber auch wieder unendlich viele weitere obere Schranken.

Beschränkt heißt eine Funktion nur, wenn sie sowohl eine obere, als auch eine untere Schranke besitzt. Also, eine Schranke reicht hier nicht.
Typisches Beispiel wären hier z.B. sin oder cos. Hier gilt: Sup=1, Inf=-1.

tru
 
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Supremum = Maximum ?

Supremum = Maximum ? Das kann natürlich sein, aber im allgemeinen gilt das nicht. Bei einer Funktion sollte man den Definitionsbereich nicht vergessen.

Angenommen, die Funktion lautet:
[tex]f(x)=x^2[/tex]

und der Definitionsbereich ist das abgeschlossene Intervall [tex][2,3][/tex]. Dann ist das Minimum der Funktion gleich 4 und das Maximum gleich 9, da 4 der kleinste Wert ist, den die Funktion annehmen kann und 9 der größte [tex](f(2)=4, f(3)=9)[/tex]. 4 und 9 sind damit auch das Infimum und das Supremum der Funktion.

Wenn allerdings der Definitionsbereich das offene(!) Intervall [tex](2,3)[/tex] ist, dann sieht die Situation etwas anders aus:

Die Funktion besitzt nämlich dann weder ein Maximum noch ein Minimum! Die Randpunkte 2 und 3 liegen nicht mehr im Definitionsbereich der Funktion und daher nimmt die Funktion nur Werte größer als 4 und kleiner als 9 an. Von diesen Funktionswerten kann man aber kein Minimum oder Maximum berechnen, da diese nicht existieren!

Das Supremum bleibt aber bei 9 und das Infimum bei 4. Hier ändert sich nichts, da nach wie vor 4 die größte untere Schranke für alle Funktionswerte bildet und 9 die kleinste obere.

Supremum und Infimum einer Funktion existieren immer (evt. gleich [tex]\infty \text{ bzw. } -\infty[/tex]). Falls die Funktion Infimum bzw. Supremum als Wert annehmen kann, hat man damit auch das Minimum bzw. Maximum der Funktion.
 
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TruPlaya schrieb:
Hi,
Jetzt hat diese Funktion aber ein Minimum im Punkt (0,0). D.h. der y-Wert 0 ist der kleinste y-Wert, der überhaupt erreichbar ist. Dieses Minimum stellt damit auch gleichzeitig die größte untere Schranke dar und die nennt man Infimum.
tru
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Danke soweit, aber genau hier ich ein Verständnisproblem: Wenn die Funktion keinen kleineren Wert annehmen kann, warum heißt das Infimum dann nicht kleinste untere Schranke? Denn logischerweise können doch viele Schranken größer sein (z.B. 1, wenn ich die Funktion im Intervall [1,2] betrachte), aber keine kann jemals kleiner sein, weil die Funktion f(x) = x² auch für negative x positive Werte annimmt... Was genau stimmt da mit meiner Auffassung nicht?
 
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Rincewind schrieb:
Danke soweit, aber genau hier ich ein Verständnisproblem: Wenn die Funktion keinen kleineren Wert annehmen kann, warum heißt das Infimum dann nicht kleinste untere Schranke? Denn logischerweise können doch viele Schranken größer sein (z.B. 1, wenn ich die Funktion im Intervall [1,2] betrachte), aber keine kann jemals kleiner sein, weil die Funktion f(x) = x² auch für negative x positive Werte annimmt... Was genau stimmt da mit meiner Auffassung nicht?
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Stell Dir die Parabel vor, die bei y = 0, also beim Ursprung ein Infimum hat. Dann gelten nur die Werte als Schranken, die unterhalb des Infimums liegen. Sonst wären es keine Schranken. Diese Werte müssen doch zwingend kleiner sein als 0, also -1, -2, -3. Diese Werte sind kleiner als 0.
 
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Rincewind schrieb:
Danke soweit, aber genau hier ich ein Verständnisproblem: Wenn die Funktion keinen kleineren Wert annehmen kann, warum heißt das Infimum dann nicht kleinste untere Schranke? Denn logischerweise können doch viele Schranken größer sein (z.B. 1, wenn ich die Funktion im Intervall [1,2] betrachte), aber keine kann jemals kleiner sein, weil die Funktion f(x) = x² auch für negative x positive Werte annimmt... Was genau stimmt da mit meiner Auffassung nicht?
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Hi,
du verwechselst Schranke irgendwie mit Grenzwert. x^2 hat unendlich viele untere Schranken. Nicht nur bei y=0 sondern auch z.B. y=-14,735 ist eine untere Schranke. Oder y=-29. Schranke heißt nicht, dass die Funktion auch tatsächlich diesem Wert irgendwie nahe kommt - Schranke heißt einfach nur, dass dieser Wert nicht überschritten wird. Du wirst zweifellos zugeben, dass die Funktion f(x)=x^2 den Wert y=-29 nicht kreuzt...
Von allen diesen unendlich vielen (negativen) y-Werten, die als Schranken für x^2 in Frage kommen gibt es größere und kleinere Werte/Schranken.
-14,735 wäre ja z.B. eine größere Schranke als -29. -3 wäre noch größer, aber die allerallergrößte Schranke, die, wo es wirklich keine noch größere gibt ist y=0. Dort haben wir also die größte untere Schranke.

Wenn ich einen eingeschränkten Definitionsbereich vorliegen habe betrachte ich eine komplett neue Funktion. Ich suche mir auch hier im Intervall wieder den kleinsten Wert, den die Funktion erreichen kann. Dieser kleinste Wert entspricht auch hier wieder meiner größten unteren Schranke. Wenn du ein Intervall betrachtest musst du neben Hoch- oder Tiefpunkten im Intervall dann natürlich auch noch nach den Randwerten schauen. Das Minimum der Funktion x^2 im Intervall [1;2] ist y=1, das Maximum y=4. Hier gibt es also sowohl untere als auch obere Schanken.
Diese Schranken haben nichts mit den Schranken von x^2 in irgendeinem anderen Definitionsbereich zu tun.

tru
 
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TruPlaya schrieb:
Hi,
du verwechselst Schranke irgendwie mit Grenzwert. x^2 hat unendlich viele untere Schranken. Nicht nur bei y=0 sondern auch z.B. y=-14,735 ist eine untere Schranke. Oder y=-29. Schranke heißt nicht, dass die Funktion auch tatsächlich diesem Wert irgendwie nahe kommt - Schranke heißt einfach nur, dass dieser Wert nicht überschritten wird. Du wirst zweifellos zugeben, dass die Funktion f(x)=x^2 den Wert y=-29 nicht kreuzt...
tru
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Tausend Dank, ich glaube, hier liegt für mich der Hund begraben! Wenn der Begriff der Schranke nur bedeutet, dass die Funktion den Schrankenwert nicht kreuzt, gibt es für f(x)=x² natürlich unendlich viele Schranken. So weit, so gut. Der Unterschied zwischen Minima / Maxima sowie Infima / Suprema ist dann also, dass Minimum und Maximum als Funktionswerte vorkommen müssen, während Supremum und Infimum die kleinste oberste bzw. größte untere der für die Funktion denkbaren Schranken darstellen.

Wenn wir dazu noch mal das Beispiel von Ivanhoe heranziehen: Wir betrachten f(x)=x² in (2,3), dann gibt es weder Minimum noch Maximum, weil diese als Randwerte des offenen Intervalls niemals erreicht werden. Infimum ist aber nach wie vor 4 und Supremum 9, weil diese als allerallergrößte untere und allerallerkleinste obere Schranke nach wie vor denkbar sind. Das heißt: Minima und Maxmima müssen Funktionswerte sein, Infima und Suprema nicht. Kann man das so stehen lassen?

Wenn ja, gehe ich jetzt beruhigt wieder an die BWL-Sachen und widme mich am Wochenende noch mal sehr intensiv dem Thema mit den Schranken 😉

Danke schon mal an alle, die geantwortet haben!
 
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Rincewind schrieb:
Das heißt: Minima und Maxmima müssen Funktionswerte sein, Infima und Suprema nicht. Kann man das so stehen lassen?
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NEIN !!!!! Extremwerte sind x-Werte, Schranken sind die zugehörigen Funktionswerte. Wenn Du z.B. bei f(x) = x^2 + 3 ein Minimum bei x = 0 hast, dann ist das Infimum bei 0^2 +3 = 3.

In der Klausur ist nach den Funktionswerten gefragt. Das darfst Du nicht verwechseln !!
 
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sisa schrieb:
In der Klausur ist nach den Funktionswerten gefragt. Das darfst Du nicht verwechseln !!
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Da habe ich mich dumm ausgedrückt: Ich meine, dass Suprema und Infima keine tatsächlich vorkommenden Funktionswerte sein müssen. So ist ja z.B. bei f(x)=1/x für A=(0,unendlich) (Achtung, offen!) inf=0, obwohl f(x)=0 kein Element des Wertebereichs ist...

Abhängige und unabhängige Variable werfe ich schon nicht durcheinander
 
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Rincewind schrieb:
Da habe ich mich dumm ausgedrückt: Ich meine, dass Suprema und Infima keine tatsächlich vorkommenden Funktionswerte sein müssen. So ist ja z.B. bei f(x)=1/x für A=(0,unendlich) (Achtung, offen!) inf=0, obwohl f(x)=0 kein Element des Wertebereichs ist...

Abhängige und unabhängige Variable werfe ich schon nicht durcheinander 😉
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Die Funktion 1/x ist weder nach oben, noch nach unten beschränkt und schon gar nicht beschränkt. Sie kann demnach weder ein Infimum, noch ein Supremum haben. In der Regel (vielleicht gibt es davon Ausnahmen?) gibt es für Inf. und Sup. einen Funktionswert, der auch Funktionswert eines Extremwertes ist, aber für die vielen anderen Schranken gibt es einfach einen y-Wert, der eine Schranke sein kann.

Infimum und Supremum sind nur besondere Schranken. Es gibt aber noch viele andere und nicht jede Funktion hat soclhe Schranken.
 
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sisa schrieb:
Die Funktion 1/x ist weder nach oben, noch nach unten beschränkt und schon gar nicht beschränkt. Sie kann demnach weder ein Infimum, noch ein Supremum haben.
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Aber aber: Negative Funktionswerte werden nicht erreicht, weil der Definitionsbereich auf positive x beschränkt ist. Alle y<0 sind damit schranken der Funktion. 0 wird als Funktionswert niemals erreicht, dieser kommt 0 nur sehr nahe. Damit ist das größte s für s<=f(x) (und somit das Infimum von f(x)=1/x) eben 0.
 
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