Theorie des Haushaltes

Definition: Eine Relation heisst Präferenzordnung genau dann, wenn sie vollständig, reflexiv und transitiv ist, d.h. wenn sie die drei sog. Rationalitätsaxiome erfüllt.

Eine Präferenzordnung erfüllt die Nichtsättigungseigenschaft wenn für jedes Güterbündel A gilt, dass ein anders Güterbündel B diesem vorgezogen wird, wenn B von mindestens einem Gut eine größere Menge und von keinem der anderen Gütern eine kleinere Menge als A hat. Anschaulich: "Mehr ist besser", wenn in einem beliebigen Güterbündel die Menge mindestens eines Gutes erhöht wird und alle anderen Mengen gleich bleiben, dann erhöht sich der Nutzen.

Liebe Grüße

Mmmh, wenn man dazu als Bsp. Aufgabe 2 der EA nimmt...
Ist dann C richtig, da zwar die Mengen zweier Güter zunimmt, aber das eine reduziert wird?
Da keine Nutzenfunktion gegeben ist, kann ich hier doch den Nutzen nicht beurteilen?

sind die lotse aufgaben die ea`s??

Chris81A schrieb:

Mmmh, wenn man dazu als Bsp. Aufgabe 2 der EA nimmt...
Ist dann C richtig, da zwar die Mengen zweier Güter zunimmt, aber das eine reduziert wird?
Da keine Nutzenfunktion gegeben ist, kann ich hier doch den Nutzen nicht beurteilen?

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Nein, 2 C ist falsch, betrachte die Definition von Nichtsättigung in KE 2 S. 24 unten die Fussnote.

Kurzform: Nichtsättigung, wenn für alle Güterbündel A und B gilt: Aus B hat von mindestens einem Gut mehr aber von keinem Gut weniger als A folgt A < B ("B wird A vorgezogen").

Nichtsättigung ist nicht erfüllt, genau dann wenn, es ein Gegenbeispiel gibt.

(4, 2, 2) < (5, 1, 1) ist kein Gegenbeispiel, also ist Aussage 2 C falsch. Es wäre dann ein Gegenbeispiel, wenn im Nichtsättigungsfall (5, 1, 1) < (4, 2, 2) (was ja gerade nicht gilt) sein müsste, aber Nichtsättigung fordert nicht (5, 1, 1) < (4, 2, 2), weil (4, 2, 2) von einem Gut weniger hat als (5, 1, 1) nämlich von Gut 1 (4 < 5).

Ein Gegenbeispiel ist aber (5, 2, 2) < (5, 1, 1), also ist 2 B richtig, denn (5, 2, 2) wird (5, 1, 1) nicht vorgezogen, obwohl (5, 2, 2) von mindestens einem Gut mehr aber von keinem Gut weniger als (5, 1, 1) hat.

Liebe Grüße

Mmh, okay. Ich werd mir das nochmal genauer anschauen müssen. Ganz klar ist es mir noch nicht. Morgen früh geht's vielleicht besser😉. Danke für Deine Erklärung!!

B ist doch aber richtig, oder? Ich verstehe das immer noch nicht so ganz, warum C nicht der Nichtsättigung widerspricht:-(.
Die Beurteilung der Transitivität leuchtet mir auch noch nicht so ganz ein:-(.

Könnt ihr mir weiterhelfen?

Chris81A schrieb:

B ist doch aber richtig, oder? Ich verstehe das immer noch nicht so ganz, warum C nicht der Nichtsättigung widerspricht:-(.
Die Beurteilung der Transitivität leuchtet mir auch noch nicht so ganz ein:-(.

Könnt ihr mir weiterhelfen?

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Nichtsättigung:

(4, 2, 2) < (5, 1, 1) widerlegt die Nichtsättigungseigenschaft nicht. Weil beide Güterbündel jeweils (mindestens) ein Gut haben, von dem sie eine größere Menge haben als das andere Güterbündel fehlt die Betrachtungsbasis. Du brauchst zwei Güterbündel, so dass für alle Güter das eine Bündel mehr oder gleichviel hat, als das andere. Dann ist Nichtsättigung nicht erfüllt, wenn das Bündel mit dem gleichviel und weniger dem mit dem gleichviel und mehr vorgezogen wird (siehe B).


Transitivität:

Jede Präferenzordnung, die durch eine Nutzenfunktion dargestellt werden kann, ist transitiv. Das folgt aus der Transitivität von "kleiner" bzw. "größer" und "gleich" auf den reellen Zahlen.

Beweis:

Sei <präf eine Präferenzordnung und U eine Nutzenfunktion, die <präf abbildet.

Dann gilt also für beliebige Güterbündel A und B: A <präf B genau dann wenn U(A) < U(B) und A =präf B genau dann wenn U(A) = U(B)

Sein nun A <präf B und B <präf C

Dann ist also U(A) < U(B) und U(B) < U(C)

Damit ist auch U(A) < U(C) weil < auf den reellen Zahlen transititiv ist

Damit ist also A <präf C

Sei weiter A =präf B und B =präf C

Dann ist U(A) = U(B) und U(B) = U(C)

Damit ist auch U(A) = U(C) weil = auf den reellen Zahlen transititiv ist

Damit ist also A =präf C

Wir haben also für beliebige A, B, C gezeigt:

(1) Aus A <präf B und B <präf C folgt A <präf C

(2) Aus A =präf B und B =präf C folgt A =präf C

Daraus folgt: <präf ist transitiv!

Liebe Grüße

danke nochmal für Deine Geduld. Die Nichtsättigung habe ich, denke ich, nun endlich verstanden, aber das mit der Transitiviät, grr...
Also immer, wenn sich eine Nutzenfunktion darstellen lässt, geht man von Transitivität aus??? Weil die verschieden eingesetzten Werte für die einzelnen Güter unterschiedliche Nutzenwerte ergeben, die dann wiederum unterschiedliche Indifferenzkurven aufzeigen, die sich begründet mit dem Axiom nicht schneiden dürfen. Hast du vielleicht ein Gegenbeispiel parat? Vielleicht verstehe ich es dann besser:-/?

Chris81A schrieb:

Also immer, wenn sich eine Nutzenfunktion darstellen lässt, geht man von Transitivität aus???

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Nein, immer dann, wenn eine Nutzenfunktion eine Präferenzordnung darstellt, dann ist diese transitiv (man geht also nicht nur davon aus, sondern sie ist es tatsächlich). Ich habe es schon allgemein bewiesen, zur Veranschaulichung betrachte das gegebene Beispiel:

U(X1, X2, X3 ) = X1 * X2 * X3

Jetzt bilde doch mal eine paar Produkte:

U(1, 1, 1) = 1
U(1, 2, 1) = 2
U(1, 2, 2) = 4
U(2, 1, 3) = 6
U(4, 1, 5) = 20
U(33, 1 , 1) = 33

Jetzt wähle drei Güterbündel A, B, C für die gilt: A < B und B < C. Du wirst feststellen, dass dann auch A < C gilt.

Beispiel:

A = U(1, 2, 1)
B = U(2, 1, 3)
C = U(4, 1, 5)

Hier gilt U(A) = 2 < 6 = U(B) und es gilt U(B) = 6 < 20 = U(C) - es ist also A < B und B < C

Und es gilt U(A) = 2 < 20 = U(C)

Es gilt also A < B, B < C und A < C

Du wirst kein Beispiel finden, für das die Eigenschaft "Wenn A < B und B < C gilt so ist auch A < C" nicht erfüllt ist. Die durch U gegebene Relation ist also transitiv. Das ist eigentlich trivial, weil die Relation < auf Güterbündel auf die <-Relation auf reellen Zahlen (Nutzenwerte) zurückgeführt wird (A < B genau dann, wenn U(A) < U(B)) und die <-Relation auf reellen Zahlen ist bekanntlich transitiv.

Liebe Grüße

Vielen Dank. Ich denke wohl viel zu kompliziert :-(. Das habe ich nun verstanden. Was ich nun wieder an diesem Bsp. nicht verstehe, widerspricht sich A<B nicht, weil das 2. Gut von B<A ist????

Chris81A schrieb:

Was ich nun wieder an diesem Bsp. nicht verstehe, widerspricht sich A<B nicht, weil das 2. Gut von B<A ist????

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Nein, Kein Widerspruch. Die Reihenfolge der Güter und ihren Mengen im Güterbündel spielt keine Rolle. Du könntest die "Plätze" der Güter im Güterbündel auch tauschen und die Berechnungsvorschrift der Nutzenfunktion entsprechend anpassen, ohne dass sich an den Präferenzen des Haushalts etwas ändert. Die Präferenz zweier Güterbündel ist lediglich durch die < oder = Beziehung ihrer Nutzenwerte (also U-Funktionswerte) bestimmt und nicht durch die Anordnung der Gütermengen im Güterbündel.

Liebe Grüße