Wo sind die Experten, die mir sagen können, ob ich beim Thema Definitheit auch einer bin? 😀
Ich fang mal an:
Frage 1) Stimmen folgende Aussage von mir?
Gegeben sei eine Matrix A.
Man prüft zuerst alle Unterdeterminanten von A. Das sind det(A) und alle "det's", die entstehen, wenn man jeweils die letzte Zeile und die letzte Spalte von A streicht. Das Element oben links bleibt zuletzt stehen. Davon die Determinante ist natürlich das Element selbst!
Sind alle Determinanten > 0 , dann A positiv definit
und alle Eigenwerte > 0.
Sind alle Determinanten < 0, dann A negativ definit und alle Eigenwerte < 0
Sind alle Determinanten >=0, dann A positiv semidefinit und alle Eigenwerte >=0
Sind alle Determinanten <=0, dann A negativ semidefinit und alle Eigenwerte <=0
Eine Determinante von einer 2x2 Matrix:
Produkte der Hauptdiagonalenelemente minus Produkte der Nebendiagonalenelemente
Eine Determinante von einer 3x3 Matrix:
Regel von Sarrus
Alles was über diese Abmaße hinausgeht:
Am besten Gauß-Algorithmus auf die Matrix anwenden, sodass eine obere Dreiecksmatrix entsteht. Die Produkte der Hauptdiagonalenelemente sind der Wert der Determinante.
Für Funktionen f(x,y) (nur 2 unabhängige Variablen) gibt es ja die Hessematrix H. Sie ist in diesem Fall eine 2x2 Matrix.
Will man Extrempunkte berechnen und hat bereits die kritischen Stellen durch Nullsetzen von grad (f), dann:
1.) Wenn det(H) < 0, sind die ermittelten kritischen Stellen auf keinen Fall Extremstellen.
2.) Wenn det(H) > 0, hat f genau an den ermittelten kritischen Stellen.
a) einen Hochpunkt, wenn das Element oben links < 0 ist.
b) einen Tiefpunkt, wenn das Element oben links > 0 ist.
Frage 2): Wie verfährt man bei Funktionen mit drei unabhängigen Variablen, á la f(x,y,z) ???
Funktioniert das genau so wie für f(x,y) ?
Ich denke mal Diagonalisierungsalgorithmen und quadratische Formen sind nicht klausurrelevant. Eigenwerte mit irgendwelchen heftigen Algorithmen (so wie im Skript! da bin ich ja beinahe zusammengebrochen 😀) kommen ebenfalls nicht dran - oder?? Ich habe jedenfalls noch nicht dergleichen entdecken können!
Ich fang mal an:
Frage 1) Stimmen folgende Aussage von mir?
Gegeben sei eine Matrix A.
Man prüft zuerst alle Unterdeterminanten von A. Das sind det(A) und alle "det's", die entstehen, wenn man jeweils die letzte Zeile und die letzte Spalte von A streicht. Das Element oben links bleibt zuletzt stehen. Davon die Determinante ist natürlich das Element selbst!
Sind alle Determinanten > 0 , dann A positiv definit
und alle Eigenwerte > 0.
Sind alle Determinanten < 0, dann A negativ definit und alle Eigenwerte < 0
Sind alle Determinanten >=0, dann A positiv semidefinit und alle Eigenwerte >=0
Sind alle Determinanten <=0, dann A negativ semidefinit und alle Eigenwerte <=0
Eine Determinante von einer 2x2 Matrix:
Produkte der Hauptdiagonalenelemente minus Produkte der Nebendiagonalenelemente
Eine Determinante von einer 3x3 Matrix:
Regel von Sarrus
Alles was über diese Abmaße hinausgeht:
Am besten Gauß-Algorithmus auf die Matrix anwenden, sodass eine obere Dreiecksmatrix entsteht. Die Produkte der Hauptdiagonalenelemente sind der Wert der Determinante.
Für Funktionen f(x,y) (nur 2 unabhängige Variablen) gibt es ja die Hessematrix H. Sie ist in diesem Fall eine 2x2 Matrix.
Will man Extrempunkte berechnen und hat bereits die kritischen Stellen durch Nullsetzen von grad (f), dann:
1.) Wenn det(H) < 0, sind die ermittelten kritischen Stellen auf keinen Fall Extremstellen.
2.) Wenn det(H) > 0, hat f genau an den ermittelten kritischen Stellen.
a) einen Hochpunkt, wenn das Element oben links < 0 ist.
b) einen Tiefpunkt, wenn das Element oben links > 0 ist.
Frage 2): Wie verfährt man bei Funktionen mit drei unabhängigen Variablen, á la f(x,y,z) ???
Funktioniert das genau so wie für f(x,y) ?
Ich denke mal Diagonalisierungsalgorithmen und quadratische Formen sind nicht klausurrelevant. Eigenwerte mit irgendwelchen heftigen Algorithmen (so wie im Skript! da bin ich ja beinahe zusammengebrochen 😀) kommen ebenfalls nicht dran - oder?? Ich habe jedenfalls noch nicht dergleichen entdecken können!