Übungsaufgabe 7.8.2

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Klotzig

Klotzig

Dr Franke Ghostwriter
Gegeben ist:
Code: 
1 1 1
0 1 1 
0 0 1
dazu soll die inverse Matrix bestimmt werden, indem auf die rechte Seite die Einheitsmatrix notiert wird und man dann invertiert:
Code: 
1 1 1   1 0 0
0 1 1   0 1 0 
0 0 1   0 0 1
Die erste Zeile kann man sich sparen, da die erste Spalte ja eh schon passt (d.h. 1 0 0 nach unten hin).
Deshalb macht man weiter und nimmt nun folgendes Pivot-Element:

Code: 
 1 1 1   1 0 0
 0 [COLOR=red][B]1[/B][/COLOR] 1   0 1 0 
 0 0 1   0 0 1
So, nun kommts: In der Lösung ist als nächstes Zwischenergebnis folgendes angegeben:
Code: 
  1 0 1   1 -1[/COLOR] 0
  0 [COLOR=red][B]1[/B][/COLOR] 1   0 1 0 
  0 0 1   0 0 1
Aber wie kommt man auf die blaue -1, also da, wo vorher eine 0 stand?

Meine Lösung sieht so aus:

Code: 
  1 1 1   1 0 0
  0 [COLOR=red][B]1[/B][/COLOR] 1   0 1 0 
  0 0 1   0 0 1
Setzen der übrigen Elemente der Pivotspalte gleich 0:

Code: 
  1 0 1   1 0 0
  0 [COLOR=red][B]1[/B][/COLOR] 1   0 1 0 
  0 0 1   0 0 1
So, und wenn man jetzt beispielsweise die blaue 0 hernimmt, müsste doch folgendes rauskommen:

Code: 
   1 [B][COLOR=orange]0[/COLOR] [/B]1   1 [B]0[/COLOR][/B] 0
   0 [COLOR=red][B]1[/B][/COLOR] 1   0 [B][COLOR=lime]1[/COLOR][/B] 0 
   0 0 1   0 0 1
Das wäre doch dann für das Element, das danach an der Stelle der blauen 0 ist: 0[/COLOR] - 1/1* 0 = 0

Also wieder null??

Auf das Ergebnis aus der Musterlösung würde ich nur kommen, wenn ich das blaue Element berechne, OHNE vorher die Pivotspalten-Elemente auf 0 zu setzen. Aber in der Anleitung steht ja, dass man erst die Pivotspalten-Elemente auf 0 setzt und DANACH die restlichen Elemente der Matrix berechnet?

Vielen Dank für Antworten 🙂

edit: Habe gerade gesehen, dass in der Anleitung (Seite 206) steht, dass man mit den alten Elementen rechnen muss - also den Elementen, die vor Setzen der Pivotspalten-Elemente auf 0 dortstanden. Dann passt es eh, oder??
 
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Man setzt die Elemente der Pivotspalte nicht einfach so auf 0, sondern man addiert jeweils ein geeignetes Vielfaches der Pivotzeile so auf die Zeilen, dass sich dort 0 ergibt. In deinem Fall addiert man das -1-fache der zweiten Zeile auf die erste (dh man subtrahiert), so dass sich dort 1 0 0 | 1 -1 0 ergibt. Dann subtrahiert man noch die dritte von der zweiten (=> (0 1 0 | 0 1 -1)), und man ist fertig.
 
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Danke für deine Antwort. 🙂

Aber was du ansprichst, ist doch das Gaußsche-Eliminierungsverfahren, oder? Denn beim Pivotisieren werden (laut Skript) die Zeilen nicht umgeformt (d.h. keine Addition vom n-fachen der betrachteten Zeile zu den anderen Zeilen), sondern die Umstellung erfolgt durch die Kreisregel. :confused
 
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Ich kenne weder euer Script noch die Kreisregel, aber in der Mathematik hängt ein Ergebnis nicht von dem Weg ab, auf dem man es findet. 🙂 Ich wette die Kreisregel ist lediglich eine mehr oder weniger schlaue Methode, dasselbe zu tun, was ich beschrieben habe.
 
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Danke für deine Antwort. 🙂

Du hast zwar klar Recht, dass auch andere Methoden in Betracht kommen, aber bei dieser Übungsaufgabe wird explizit nach dem Pivotverfahren gefragt und dementsprechend haben sie dann auch die einzelnen Lösungszwischenergebnisse angegeben. Mir geht es ja darum, dass ich die Methode verstehe.
 
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OK, dann nehm ich das zurück, ich hab eine Anleitung zur Kreisregel gefunden. Im Grunde scheint es aber schon dasselbe zu sein wie ein Gauss-Jordan-Pivotschritt, zumindest rechnet man bei beiden Verfahren dasselbe. Die Reihenfolge ist anscheinend anders, nicht streng Zeile für Zeile.
 
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