Verständnisproblem bezüglich Prozesskombination

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yilmaz_duman

yilmaz_duman

Dr Franke Ghostwriter
Verständnisproblem bezüglich Prozesskombination...

Hallo,


Ich habe eine Frage bezüglich Kombinierbarkeit von Prozessen.
Dabei habe ich auch die Klausuraufgabe 2d) von ProKo Sept.2000 gelöst.

Gegeben sind zwei Prozesse.
P1 mit a1=5.5, a2=2.5 (die a's sind die beiden Produktionskoeff. der Faktoren r1 und r2)
P2 mit a1=4, a2=4 weiter sind bekannt:

r2max = 40ME q1 = 8 GE
q2 = 3 GE

Gesucht ist die Gesamtkostenfunktion K(x) für x > 0 ???

Bereits gelöst: Für P1 gilt K(x) = 44x
Für P2 gilt K(x) = 51.5x

Da die Kosten von P2 geringer sind als von P1 wird bis zur max.möglichen Herstellungsmenge x = 10 mit P2 produziert.

Da aber insgesamt x = 16 ME hergestellt werden können, wird für die weitere Herstellung eine Kombination beider Prozesse durchgeführt.

Für 10 < x <= 16 lautet die Kostenfunktion K(x) = 64x - 200

Nun meine Frage:

angenommen ich möchte nun x = 11ME herstellen.
So würde ich doch mit P2 10ME produzieren. Mehr kann mit P2 auch gar nicht mehr produziert werden, da ja mein Faktor r2 bereits ausgeschöpft ist.
Folglich würde ich das letzte Stück (also das 11.) mit P1 produzieren.
Meine Gesamtkosten beliefen sich somit auf: 10 * 44GE + 1 * 51.5GE = 491.5 GE

Auch, wenn ich die Kombinationsformel akzeptiere (also: K(x) = 64x -200), so komme ich beim Einsatz von x = 11 ME auf Gesamtkosten von 504 GE.

D.h. doch die 1.Variante ist kostengünstiger.

Wieso also die Kombination ???
Und nochmal. Wie kann ich denn kombinieren, wenn ich mit P2 bereits die Faktorbeschränkung für r2 erreicht habe ?
Ich kann doch nur noch mit P1 weiter produzieren.
 
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zur Kombination nimmst du etwas von [tex]r_{_2}[/tex] aus Prozess 2 [tex]P_{_2}[/tex]. Das heißt gleichzeitig, dass [tex]P_{_2}[/tex] weniger produziert. Die frei werdende Menge von [tex]r_{_2}[/tex] kommt dann [tex]P_{_1}[/tex] zu gute. Insgesamt wird also von [tex]r_{_2}[/tex] immer noch [tex]r_{_2}^{^{max}}=40[/tex] verbraucht, aber eben in [tex]P_{_1}[/tex] und [tex]P_{_2}[/tex].

Die Kostenfunktion dafür ist nicht ganz so trivial. Der Weg wird aber im Skript exemplarisch dargestellt (Seite gerade unbekannt). Du kannst davon aber nicht einfach die Endformel übernehmen, sondern musst den Weg evtl. an die Aufgabe anpassen.
 
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SaschaHB schrieb:
Ich hole mal eben nochmal diesen Beitrag hoch, denn ich stehe da momentan auch auf dem Schau, wie man auf die Kostenfunktion K(x) = 64x - 200 kommt, könnte mir das jemand erklären?
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Am schnellsten ist folgende Lösung:

Die Kostenfunktion der Prozesskombination ist eine Gerade: K(x) = a * x + b ; 10 <= x <= 16

a und b sind unbekannt und müssen bestimmt werden.

Die Kostenfunktionen der beiden Prozesse sind

KI(x) = 8 * 5,5 * x + 3 * 2,5 * x = 51,5 * x

KII(x) = 8 * 4 * x + 3 * 4 * x = 44 * x

Prozess II ist also kostengünstiger als Prozess I. Es wird deshalb bis zum maximalen Output x = 10 von Prozess II nur mit Prozess II produziert.

x = 10 wird nur mit Prozess II produziert (da KII(x) < KI(x)), es gilt daher K(10) = KII(10) = 44 * 10 = 440

x = 16 wird nur mit Prozess I produziert (das ist die einzige Möglichkeit), es gilt daher K(16) = KI(16) = 51,5 * 16 = 824

Nun gilt für K(x) = a * x + b also

K(10) = a * 10 + b = 440

K(16) = a * 16 + b = 824

Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten a und b. Es gibt genau eine Lösung:

a * 10 + b = 440
b = 440 - a * 10

a * 16 + b = 824
a * 16 + 440 - a * 10 = 824
6 * a = 824 - 440
a = (824 - 440)/6 = 64

b = 440 - a * 10 = b = 440 - 64 * 10 = -200

Also: K(x) = a * x + b = 64 * x - 200

Liebe Grüße
 
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SaschaHB schrieb:
Ich hole mal eben nochmal diesen Beitrag hoch, denn ich stehe da momentan auch auf dem Schau, wie man auf die Kostenfunktion K(x) = 64x - 200 kommt, könnte mir das jemand erklären?
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Alternativer Lösungsweg:


Im Bereich der Prozesskombination (d.h. für x >= 10) wird vom beschränkten Faktor 2 stets die maximal verfügbare Menge r2max = 40 eingesetzt.

x = xI + xII

r2 = r2max = 40 = 2,5 * xI + 4 * xII

Das sind zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten xI und xII. Es gibt genau eine Lösung:

40 = 2,5 * xI + 4 * xII

40 = 2,5 * xI + 4 * (x - xI) = 2,5 * xI + 4 * x - 4 * xI = 4 * x - 1,5 * xI

xI = (4 * x - 40) / 1,5 = 8/3 * x - 80/3

xII = x - xI = x - 8/3 * x + 80/3 = 80/3 - 5/3 * x

Damit gilt nun:

r1
= 5,5 * xI + 4 * xII
= 5,5 * (8/3 * x - 80/3) + 4 * (80/3 - 5/3 * x)
= 44/3 * x - 440/3 + 320/3 - 20/3 * x
= 24/3 * x - 40
= 8 * x - 40

r2 = r2max = 40 (bei der Prozesskombination wird stets die maximale Menge des beschränkten Faktors 2 eingesetzt)

Damit lautet die Kostenfunktion:

K(x)
= q1 * r1 + q2 * r2
= 8 * (8 * x - 40) + 3 * 40
= 64 * x - 320 + 120
= 64 * x - 200

Liebe Grüße
 
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