Verteilungsfunktion

Ich versteh jetzt die Frage nicht so 100% (was ist Ü 😕) aber mal zum Anfang:
Die Wahrscheinlichkeit bestimmt sich als Fläche unterhalb der Dichtefunktion.
Den Flächeninhalt erhält man, indem man die Dichtefunktion f(x) integriert. Heraus kommt die Verteilungsfunktion F(x). Also wichtig für das Verständnis ist vielleicht, dass es sich bei der Verteilungsfunktion um eine Art "Summenfunktion" handelt d.h. sie gibt den Flächeninhalt unterhalb der Dichtefunktion an, von -∞ bis zum Punkt x aufsummiert.
Schau dir nochmal das Bild auf Seite 27 an. Das obere ist die Dichtefunktion. Wenn ich die Wahrscheinlichkeit wissen will, dafür dass X zwischen 1 und 2 liegt, muss ich den Flächeninhalt zwischen 1 und 2 berechnen.
Wenn ich f(x) integriere, kommt die Verteilungsfunktion F(x) heraus, wie sie im zweiten Bild angegeben ist. F(2) gibt mir den Flächeninhalt unter der Dichtefunktion bis zu x=2 an. Wenn ich aber nun nur den Flächeninhalt zwischen x=1 und x=2 wissen will, substrahiere ich F(2)-F(1).

Wie man von der Dichte- auf die Verteilungsfunktion kommt, steht auf Seite 23 im Beispiel 10 erklärt. Dann musst du in F(x) einfach nur noch 2 bzw. 1 einsetzen.

Danke! Du hast mir schon sehr weitergeholfen!
Aber nun stelle ich mir die Frage wie ich die Eigenschaften der Verteilungsfunktion überprüfen kann? Also woher weiß ich z.B. ob meine Verteilungsfunktion stetig ist?
LG Silke

Und was mache ich wenn meine Dichtefunktion zwei variablen hat? Ich finde dazu nix im Skript😕
Stopp, das hab ich: marginale & bedingte Verteilungen S.53

silke123 schrieb:

Danke! Du hast mir schon sehr weitergeholfen!
Aber nun stelle ich mir die Frage wie ich die Eigenschaften der Verteilungsfunktion überprüfen kann? Also woher weiß ich z.B. ob meine Verteilungsfunktion stetig ist?
LG Silke

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Also die Eigenschaften der Verteilungsfunktion stehen ja auf Seite 16 der KE 7. Ich denke das trifft für alle Vereilungsfunktionen per se zu, die Beweise dafür stehen ja dort.
Wenn du jetzt allerdings eine Funktion F(x) gegeben bekommst, und gefragt wirst, ob das eine Verteilungsfunktion ist, dann müsstest du diese Eigenschaften überprüfen.

Also probieren wir mal eine einfache Funktion:
F(x) = 0 für x<1
......= 1 für x≥1

Liegt eine Verteilungsfunktion vor?
1) monoton steigend: ja (Graph fällt nicht)
2) rechtsseitig stetig: F(x+c), jetzt überlege ich mir was passiert wenn c gegen Null geht, insbesondere zu überlegen bei uns bei F(1+c).
Das ist mal ein Bild einer rechtsstetigen Funktion. Der leere Kringel bedeutet, dieser Punkt gehört nicht mehr dazu, sondern da springt es hoch zum ausgefüllten Kringel. Bei unserer Funktion ist das an der Stelle x=1. Wenn ich mich von rechts nähere, geht der Graph genau noch bis zu x=1 eingeschlossen (weil ja F(x) = 1 für x≥1), und springt danach runter. Funktion ist also rechtsseitig stetig.

3) Geht die Funktion gegen 0 wenn x immer kleiner wird? Ja
4) Geht die Funktion gegen 1 wenn x immer größer wird? Ja
-> Es liegt eine Verteilungsfunktion vor.