Wann ist ein Ausdruck vom Typ 0/0? l'Hospital)

xxankaxx schrieb:

Wann ist ein Ausdruck 0/0, damit ich l'hospital anwenden kann?

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Wenn es ein Quotient zweier Ausdrücke ist, deren Grenzwert jeweils 0 ist.

Konkret geht es um Aufgabe B0108 der Billardkugeln, es soll der Grenzwert von lim (1-cos(x))/x berechnet werden.

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Grenzwert gegen was? Gegen 0 nehm ich an, also es soll [tex]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1-\cos x}x[/tex] berechnet werden. Schaun wir uns die Teilausdrücke an.
1) der Zähler: [tex]\lim_{x\rightarrow 0} (1-\cos x) = 1 -\cos 0 = 1 - 1 = 0[/tex]
2) der Nenner: [tex]\lim_{x\rightarrow 0} x = 0[/tex].
Es liegt also ein unbestimmter Ausdruck der Form 0/0 vor, so dass man die l'Hospitalsche Regel anwenden kann.

Könnte ich hier auch einfach die Quotientenregel anwenden?

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Die benutzt man für Ableitungen von Quotienten. Hier soll aber ein Grenzwert berechnet werden. Das ist was ganz anderes.

Ok, ich war bis gerade eben in dem Glauben, dass Grenzwertberechnung und die 1. Ableitung dasselbe sind.
Worin liegt der unterschied? Gibt nicht beides die Steigung einer Funktion an?

Nein, nur die Ableitung gibt die Steigung an. Was der Grenzwert ist, kann ich dir nicht erklären, weil ich nicht weiß, wie ihr das definiert habt und worauf ich zurückgreifen kann. Ganz grob ist es das Verhalten der Funktionswerte bei Annäherung an eine Stelle. Im Normalfall (stetige Funktion) ist er gleich dem Funktionswert. In dem Beispiel war die Funktion bei x=0 nicht definiert, trotzdem konnte man den Grenzwert bestimmen und so die Definitionslücke "beheben".

Bei Grenzwerten schaust du dir das Verhalten einer Funktion an einer bestimmten Stelle an (z.B. wie verhält sich die Funktion an einer Polstelle) oder im Unendlichen.

Die Ableitung ist quasi der Grenzwert des Differenzenquotienten, Δy/Δx = (f(x) - f(x[SUB]0[/SUB])) / (x-x[SUB]0[/SUB]) (quasi das "Steigungsdreieck") an einer bestimmte Stelle x[SUB]0[/SUB], also: lim x-->x[SUB]0 [/SUB][(f(x) - f(x[SUB]0[/SUB])) / (x-x[SUB]0[/SUB])]. Durch die Anwendung des Grenzwertes wird das Δx sehr klein, sodass du schließlich kein "Steigungsdreieck" mehr hast, sondern die Steigung in einem Punkt.

Hier mal ein Beispiel:
f(x) = x² - 6x + 11
f '(x) = 2x - 6
für x[SUB]0[/SUB] = 1: f '(1) = -4

Das gleiche kommt heraus, wenn du den Grenzwert des Differentialquotienten berechnest: lim x-->1 (f(x) - f(1)) / (x-1) = -4

Das Beispiel ist auf S. 5 im Script, schau es dir mal an.

Die Regel von L'Hospital sagt einfach nur aus, dass unter bestimmten Bedingungen der Grenzwert einer Funktion f(x) / g(x) gleich dem Grenzwert von f '(x) / g '(x), also du leitest die Nennerfunktion und die Zählerfunktion "separat" ab - das hat nichts mit der Quotientenregel [f(x) / g(x)]' zu tun.