Was genau bedeutet der Bildraum der Matrix?

Ich versuch es dann mal.

Eine Matrix ist eine lineare Abbildung, also du bildest ab von den Raum R^n in den Raum R^m, wobei n auch gleich m sein darf.

Zu dem Begriff Abbildung, die kennst du die Abbildung [tex]f(x)=x[/tex] bildet ab von R nach R.

Dann gibt es auch ganz normale Funktionen die von f:R^2 nach R abbilden zum Beispiel [tex]f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}[/tex]

Eine Abbildung heißt nun linear wenn sie sowohl additiv als auch homogen ist
u(x+y) = u(x) + u(y) (additiv)
u(ax)=au(x) (homogen)

Wenn du jetzt eine Matrix hast kannst du auch schreiben:
Eine lineare Abbildung u: R^3 ->R^2 ist gegeben durch die Matrix [tex]\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}[/tex]
Also ja die Dimensionen sagen dir was über die Spalten und Zeilen aus. Und verwenden kannst du Matrizen ja dafür wofür du sie haben willst ordne meinetwegen (Teil-)Produkte Preise zu. Nimm für Spalte ein Produkt und für die Zeile Teilprodukte und dann kann dein Eintrag in der Matrix dir zum Beispiel ausgeben wieviele Teilprodukte in dem Produkt verarbeitet wird.

Wie ist das zu verstehen mit der häufigen Aussage: A ist interpretierbar als lineare Abbildung vom Rn in den Rm?

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Ich würd' sagen die Aussage ist richtig.

Bild und Urbild verstehst du am besten wenn du dir mal zwei Mengen X und Y aufmalst. Und dann hast du eine Funktion von X nach Y und dann schaust du dir an wie das mit Teilmengen einsteht, so ähnlcih wie in Abbildung 7.2.1

Edit:
wiki hatte schon Bilder zu
Bild Datei:Injection.svg – Wikipedia
und Urbild: Datei:Kern Mathematik.svg – Wikipedia

Ich bin jetzt mal deinem Link zu Wiki gefolgt und hab dort mal alle Begriffe
(Bild, Abbildung, Bildmenge,etc.) nachgeschlagen, mit denen ich noch nicht so vertraut war.
Einfach ausgedrückt kann man dass doch so verstehen:

Abbildung: Beschreibt die Beziehung zwischen zwei Mengen. Einem Element der einen Menge wird ein Element der anderen zugeordnet. Das geschieht ganz klar bei allen Funktionen. Die Funktion ordnet den Eingabewerten einen Zielwert (Bildmenge) zu. Alle möglichen Lösungen bezeichnet man als Bild der Funktion.

Wenn ich das jetzt auf die Matrix übertrage heißt das doch eigentlich nichts anderes, als das eine Matrix jedem Vektor einen Wert zuordnet.

Abbildung von R^n auf R^m ist doch dann so zu verstehen, dass jedem Spaltenwert ein Zeilenwert zugeordnet wird.

Ist doch richtig so, oder?

saschkai schrieb:

Abbildung: Beschreibt die Beziehung zwischen zwei Mengen. Einem Element der einen Menge wird ein Element der anderen zugeordnet. Das geschieht ganz klar bei allen Funktionen. Die Funktion ordnet den Eingabewerten einen Zielwert (Bildmenge) zu. Alle möglichen Lösungen bezeichnet man als Bild der Funktion.

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Abbildung und Funktion ist eigentlich das gleiche, man favorisiert nur in manchen Gebieten der Mathematik den einen, in manchen den anderen Begriff.

Wenn ich das jetzt auf die Matrix übertrage heißt das doch eigentlich nichts anderes, als das eine Matrix jedem Vektor einen Wert zuordnet.

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Ja, wobei der Wert ein anderer Spaltenvektor ist. Im übrigen ist es eigentlich unsauber zu sagen, dass die Matrix eine lineare Abbildung ist. Richtig ist, dass man zu einer A mit m Zeilen und n Spalten eine Abbildung [tex]f_A : \mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m, f_A(x) := Ax[/tex] definieren kann, die dann linear ist. Der Bequemlichkeit halber spricht man dann manchmal davon, dass die Matrix eine Abbildung ist, aber man meint damit immer die Abbildung [tex]f_A[/tex].

Abbildung von R^n auf R^m ist doch dann so zu verstehen, dass jedem Spaltenwert ein Zeilenwert zugeordnet wird.

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Nein, jedem Spaltenvektor mit n Komponenten wird (indem man ihn von links mit der Matrix multipliziert) ein Spaltenvektor mit m Komponenten zugeordnet.

danke. war sehr hilfreich.
lg
sascha