Seien U und V zwei Funktionen.
Sei h eine Funktion mit folgenden Eigenschaften:
1) h(x) ist für jedes x streng monoton wachsend, d.h. dh/dx > 0 für alle x > 0
2) Es gilt V = h ° U, d.h. V(x) = h(U(x)) für alle x > 0
Dann ist V eine streng monton wachsenden Transformation von U.
Jede streng monoton wachsende Transformation einer linear homogenen Produktionsfunktion (oder Nutzenfunktion) wird als homothetische Produktionsfunktion (Nutzenfunktion) bezeichnet. Jede homothetische Produktionsfunktion (Nutzenfunktion) hat zwei wichtige Eigenschaften:
1. Sie muss nicht linear homogen sein (kann aber)
2. Wie bei linear homogenen Produktionsfunktionen (Nutzenfunktionen) hängt die Grenzrate der Substitutuion nicht von der Produktionsmenge (dem Nutzenwert) ab, sondern nur vom Faktoreinsatzverhältnis (Gütermengenverhältnis). Alle Mengenkombinationen der Isoquanten (Indifferenzkurven) entlang einer beliebigen Ursprungsgeraden haben deshalb diesselbe Grenzrate der Substitution.
Beispiel:
U(x, y) = x^1/3 * y^2/3
U ist linear homogen, denn
U(p*x, p*y)
= (p*x)^1/3 * (p*y)^2/3
= p^1/3 * p^2/3 * x^1/3 * y^2/3
= p * U(x, y)
Sei h(x) = x^3 + 10
h ist überall streng monoton steigend, denn dh/dx = 3 * x^2 > 0 für x > 0. Deshalb ist
V(x, y)
= h(U(x , y))
= (x^1/3 * y^2/3)^3 + 10
= x * y^2 + 10
eine homothetische Produktionsfunktion
Isoquante:
V = x * y^2 + 10
Isoquante y = (V - 10)^1/2 * x^-1/2
Nun sei y = a * x , a > 0 eine beliebige Ursprungsgerade
Schnittpunkt mit einer Isoquante:
a * x = (V - 10)^1/2 * x^-1/2
x^3/2 = a^-1 * (V - 10)^1/2
x = (a^-1 * (V - 10)^1/2)^2/3
Grenzrate der Substitution GRS:
GRS
= dy/dx ... // Isoquante y = (V - 10)^1/2 * x^-1/2
= - 1/2 * (V - 10)^1/2 * x^-3/2
Grenzrate der Substitution GRS im Schnittpunkt x = (a^-1 * (V - 10)^1/2)^2/3 von Ursprungsgeraden und Isoquante:
GRS
= - 1/2 * (V - 10)^1/2 * ((a^-1 * (V - 10)^1/2)^2/3)^-3/2
= - 1/2 * (V - 10)^1/2 * (a^-1 * (V - 10)^1/2)^-1
= -1/2 * (V - 10)^1/2 * a * (V - 10)^-1/2
= -1/2 * a * (V - 10)^0
= -1/2 * a
Man erkennt: die GRS = -1/2 * a hängt nicht von der Produktionsmenge V ab, sondern nur von der gewählten Ursprungsgeraden (Variable a), d.h. die GRS ist in jedem Schnittpunkt der (beliebig aber fest gewählten) Ursprungsgeraden mit den Isoquanten gleich.
Liebe Grüße
