2. EA

Mein Ansatz zu (a):

(Ich schreibe "_X" für ein tief gestelltes X und "^X" für ein hoch gestelltes X)

Laut Aufgabe: "Die Funktionen pi_i … erreichen bei p_i = p*_i ihr Maximum" – anders ausgedrückt: Egal wo Firma B ihren Preis festsetzt, erreicht die Firma A ihren dann bestmöglichen Preis bei p*_A, und egal wo Firma A ihren Preis festsetzt, erreicht die Firma B ihren dann bestmöglichen Preis bei p*_B.

Dann wird das Nash-Gleichgewicht natürlich bei p_A = p*_A und p_B = p*_B erreicht.

Ansatz für die Fusion: Die fusionierte Gesamtfirma optimiert ihren Gesamtgewinn, das ist (pi_A + pi_B).

Im Optimum muss also gelten (notwendige Bedingung):

d (pi_A + pi_B) / d p_A = 0

also [d pi_A / d p_A] + [d pi_B / d p_A] = 0

also [d pi_A / d p_A] = - [d pi_B / d p_A]

Laut Aufgabe ist d pi_B / d p_A > 0, also ist die R.S. der letzten o.g. Gleichung negativ, also ist deren L.S. negativ, also ist das neue p_A (es soll anscheinend p^K_A heißen) an einer Stelle, wo die Kurve pi_A fällt. Laut Aufgabe: "Die Funktionen pi_i haben in der Variablen p_i zunächst einen ansteigenden Verlauf, erreichen bei p_i = p*_i ein Maximum und verlaufen ab diesem Wert fallend". p^K_A ist also größer als p*_A, den Wert kann man mit den gegebenen Daten m.E. nicht genauer sagen.

Mit einer analogen Argumentation findet man, dass p^K_B kleiner ist als p*_B.

Mein Ansatz zu (b):

Wie sich die Preise unterscheiden: Gar nicht ?! Die Kartell bildenden Firmen optimieren im Bestfall nämlich ebenfalls (pi_A + pi_B) und verteilen dann den sich ergebenden Mehrgewinn gegenüber der individuellen Maximierung von pi_A und pi_B unter den teilnehmenden Firmen.

Oder habe ich da einen Denkfehler?

Mein Ansatz zu (c):
(Wieder schreibe ich "_X" für ein tief gestelltes X und "^X" für ein hoch gestelltes X)

R_A und R_B sind konstant, siehe oben. Die Kartellpreise sind gleich den Fusionspreisen, siehe oben.

Wenn im Kartell keiner mogelt,
verdient Firma A: alpha * (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B)).
verdient Firma B: (1–alpha) * (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B)).

Wenn im Kartell Firma A mogelt,wählt sie den Preis p*_A anstatt p^K_A; und es
verdient Firma A: pi_A(p*_A, p^K_B)
verdient Firma B: pi_B(p*_A, p^K_B)

Wenn im Kartell Firma B mogelt, wählt sie den Preis p*_B anstatt p^K_B; und es
verdient Firma A: pi_A(p^K_A, p*_B)
verdient Firma B: pi_B(p^K_A, p*_B)

Damit Firma A nicht mogelt, darf sie sich dabei nicht besser stehen als wenn sie kartelltreu geblieben wäre.
[Gewinn-beim-Mogeln] <= [Gewinn-beim-Bravsein]
pi_A(p*_A, p^K_B) <= (alpha) * (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B))
(dies sei Ungleichung Gl-1)

Damit Firma B nicht mogelt, darf sie sich dabei nicht besser stehen als wenn sie kartelltreu geblieben wäre.
[Gewinn-beim-Mogeln] <= [Gewinn-beim-Bravsein]
pi_B(p*_A, p^K_B) <= (1–alpha) * (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B))
(dies sei Ungleichung Gl-2)

Addieren der Ungleichungen (Gl-1) und (Gl-2)
pi_A(p*_A, p^K_B) + pi_B(p*_A, p^K_B)
<=
(alpha) * (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B)) + (1–alpha) * (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B))

Auf der R.S. Ausklammern von "(pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B))" ergibt:
pi_A(p*_A, p^K_B) + pi_B(p*_A, p^K_B) <= ((alpha) + (1-alpha)) (pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B))

Der Term ((alpha) + (1-alpha)) ergibt 1 und kann gestrichen werden. Ergibt:
pi_A(p*_A, p^K_B) + pi_B(p*_A, p^K_B) <= pi_A(p^K_A, p^K_b) + pi_B(p^K_A, p^K_B)

Die R.S. ist jetzt gerade der Kartellgesamtgewinn. Er muss mindestens so groß sein wie die L.S.

Achtung, laut Aufgabe ist d pi_B / d p_A nicht > 0, sondern < 0. der Preis von A ist bei der Fusion also kleiner als bei unabh. Maximierung...oder?

Mag gut sein - ich bin nämlich nicht flüchtigkeitsfehlersicher!

😉
P.