Ach ja, und muss man wissen WARUM die optimale Lösung bei verschiedenen Fragestellungen jeweils die erste Ableitung ist oder merkt man sich das einfach?
Das
warum ist m.E. der Schlüssel zum Verständnis. Wer diese Hürde nicht überwindet kann Lösungswege für bekannte Aufgabenstellungen anwenden, kommt aber bei neuen Aufgaben möglicherweise schnell an seine Grenzen.
Die erste Ableitung f' einer Funktion f gibt für jedes x an, wie sich der Funktionswert f(x) an dieser Stelle x ändert, wenn man x um einen unendlich kleinen Wert epsilon > 0 ändert, d.h. f'(x) ist die
Änderung von f(x) bei einer
marginalen (oder auch
infinitesimal kleinen) Änderung von x. Man sagt auch f'(x) gibt die Steigung von f an der Stelle x an. Ist diese Änderung (Steigung) > 0 bei x, dann steigt die Funktion bei x, ist sie negativ, dann fällt sie bei x, ist sie 0, dann liegt ein Extrempunkt (Minimum oder Maximum oder Sattelpunkt) vor. f' ist übrigens selber eine ganz normale Funktion.
Ist nun nach einem Extremwert (d.h. Minimum oder Maximum) gefragt, sucht man daher nach x-Werten für die f'(x) = 0 ist (die Nullstellen von f'), d.h. dür die die Steigung von f null ist.
Gilt nun f'(x) = 0 für ein x, so ist bei x zwar die Steigung von f null, aber es ist noch offen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum oder Sattelpunkt von f handelt.
(1) Ein Maximum liegt vor, wenn die Steigung von f vor x positiv und nach x negativ ist (bei x ist sie ja 0), d.h. bei x mit f'(x) = 0 hat f' einen Vorzeichenwechsel von + nach -.
(2) Ein Minimum liegt vor wenn die Steigung von f vor x negativ und nach x positiv ist (bei x ist sie ja 0), d.h. bei x mit f'(x) = 0 hat f' einen Vorzeichenwechsel von - nach +.
(3) Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn die Steigung von f vor und nach x dasselbe Vorzeichen hat (also beide male positiv oder negativ, bei x ist sie ja 0), d.h. bei x mit f'(x) = 0 hat f' keinen Vorzeichenwechsel.
Die nun gestellte Frage nach dem Vorzeichenwechsel von f' bei x mit f'(x) = 0 wird durch die Steigung von f' (also der ersten Ableitung von f) bei x mit f'(x) = 0 beantwortet. Die Steigung von f' wird durch die erste Ableitung von f', das ist gleich der zweiten Ableitung f'' von f berechnet. f'' wird mit den gleichen Ableitungsregeln aus f' ermittelt wie f' aus f.
Ist nun f''(x) > 0 (bei x mit f'(x) = 0), dann steigt f' bei x mit f'(x) = 0, d.h. es gibt einen Vorzeichenwechsel von f' bei x mit f'(x) = 0, von + nach -, d.h. f hat bei x mit f'(x) = 0 ein Maximum (siehe oben unter (1)).
Ist nun f''(x) < 0 (bei x mit f'(x) = 0), dann fällt f' bei x mit f'(x) = 0, d.h. es gibt einen Vorzeichenwechsel von f' bei x mit f'(x) = 0, von - nach +, d.h. f hat bei x mit f'(x) = 0 ein Minimum (siehe oben unter (2)).
Ist nun f''(x) = 0 (bei x mit f'(x) = 0), dann hat f' bei x mit f'(x) = 0 ihrerseits einen Extrempunkt. Eine Aussage zum Vorzeichenwechsel ist zunächst nicht möglich: Bei Minimum oder Maximum liegt kein Vorzeichenwechsel vor, bei einem Sattelpunkt jedoch sehr wohl.
Male Dir am besten mal ein paar Funktionsbildchen und versuche die Sache mit den Steigungen von f und den Zusammenhang von Minimum/Maximum von f und Nullstelle von f' klar zu machen.
Liebe Grüße