Ableitung ersten Grades

Jessloe,

ich versuche mich mal an einer Erklärung. Falls du das so nicht verstehst, sag bescheid, damit es jemand anders besser macht 😉

Du hast ja meistens eine Funktion gegeben:

f(x)=3x^2+5x+7x^3

Wenn du jetzt die erste Ableitung bildest multiplizierst du deine Hochzahl mit der Zahl vor dem x und ziehst bei deiner Hochzahl 1 ab.

Aus 3x^2 wird 6x. Weil du die Hochzahl mit dem Wert vor dem x multiplizierst. 3*2 und dann bei deiner Hochzahl eins abziehst 2-1. Also bleiben 6x.
Bei den 5x ist deine Hochzahl 1 also multiplizierst du 1*5 und das x fällt weg.
Bei den 7x^3 multiplizierst du deine Hochzahl genauso mit dem Wert vor dem x also 7*3=21 und ziehst von deinem ^3 wieder 1 ab so bleibt ^2 übrig.

Die Vollständige Ableitung heißt dann:

f'x=6x+5+21x^2

Ich hoffe das war etwas verständlicher.

Gruß

Nala

bis vor einer Woche stand ich auch noch völlig auf dem Schlauch, was die ganze Rechnerei betrifft.
Folgender Link hat mir SEHR geholfen:
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habs gecheckt, danke euch beiden!

Ach ja, und muss man wissen WARUM die optimale Lösung bei verschiedenen Fragestellungen jeweils die erste Ableitung ist oder merkt man sich das einfach?

Weil ich kann nicht nachvollziehen, warum grad die erste Ableitung

Ich denke, es reicht aus, wenn man weiß, wann man welche Formel braucht, also beispielsweise Grenzerlös = 1. Ableitung von der Erlösfunktion, etc.
Das Warum kapiere ich auch nicht immer.

jessloe schrieb:

Ach ja, und muss man wissen WARUM die optimale Lösung bei verschiedenen Fragestellungen jeweils die erste Ableitung ist oder merkt man sich das einfach?

Zum Vergrößern anklicken....

Das warum ist m.E. der Schlüssel zum Verständnis. Wer diese Hürde nicht überwindet kann Lösungswege für bekannte Aufgabenstellungen anwenden, kommt aber bei neuen Aufgaben möglicherweise schnell an seine Grenzen.

Die erste Ableitung f' einer Funktion f gibt für jedes x an, wie sich der Funktionswert f(x) an dieser Stelle x ändert, wenn man x um einen unendlich kleinen Wert epsilon > 0 ändert, d.h. f'(x) ist die Änderung von f(x) bei einer marginalen (oder auch infinitesimal kleinen) Änderung von x. Man sagt auch f'(x) gibt die Steigung von f an der Stelle x an. Ist diese Änderung (Steigung) > 0 bei x, dann steigt die Funktion bei x, ist sie negativ, dann fällt sie bei x, ist sie 0, dann liegt ein Extrempunkt (Minimum oder Maximum oder Sattelpunkt) vor. f' ist übrigens selber eine ganz normale Funktion.

Ist nun nach einem Extremwert (d.h. Minimum oder Maximum) gefragt, sucht man daher nach x-Werten für die f'(x) = 0 ist (die Nullstellen von f'), d.h. dür die die Steigung von f null ist.

Gilt nun f'(x) = 0 für ein x, so ist bei x zwar die Steigung von f null, aber es ist noch offen, ob es sich um ein Maximum oder Minimum oder Sattelpunkt von f handelt.

(1) Ein Maximum liegt vor, wenn die Steigung von f vor x positiv und nach x negativ ist (bei x ist sie ja 0), d.h. bei x mit f'(x) = 0 hat f' einen Vorzeichenwechsel von + nach -.

(2) Ein Minimum liegt vor wenn die Steigung von f vor x negativ und nach x positiv ist (bei x ist sie ja 0), d.h. bei x mit f'(x) = 0 hat f' einen Vorzeichenwechsel von - nach +.

(3) Ein Sattelpunkt liegt vor, wenn die Steigung von f vor und nach x dasselbe Vorzeichen hat (also beide male positiv oder negativ, bei x ist sie ja 0), d.h. bei x mit f'(x) = 0 hat f' keinen Vorzeichenwechsel.

Die nun gestellte Frage nach dem Vorzeichenwechsel von f' bei x mit f'(x) = 0 wird durch die Steigung von f' (also der ersten Ableitung von f) bei x mit f'(x) = 0 beantwortet. Die Steigung von f' wird durch die erste Ableitung von f', das ist gleich der zweiten Ableitung f'' von f berechnet. f'' wird mit den gleichen Ableitungsregeln aus f' ermittelt wie f' aus f.

Ist nun f''(x) > 0 (bei x mit f'(x) = 0), dann steigt f' bei x mit f'(x) = 0, d.h. es gibt einen Vorzeichenwechsel von f' bei x mit f'(x) = 0, von + nach -, d.h. f hat bei x mit f'(x) = 0 ein Maximum (siehe oben unter (1)).

Ist nun f''(x) < 0 (bei x mit f'(x) = 0), dann fällt f' bei x mit f'(x) = 0, d.h. es gibt einen Vorzeichenwechsel von f' bei x mit f'(x) = 0, von - nach +, d.h. f hat bei x mit f'(x) = 0 ein Minimum (siehe oben unter (2)).

Ist nun f''(x) = 0 (bei x mit f'(x) = 0), dann hat f' bei x mit f'(x) = 0 ihrerseits einen Extrempunkt. Eine Aussage zum Vorzeichenwechsel ist zunächst nicht möglich: Bei Minimum oder Maximum liegt kein Vorzeichenwechsel vor, bei einem Sattelpunkt jedoch sehr wohl.

Male Dir am besten mal ein paar Funktionsbildchen und versuche die Sache mit den Steigungen von f und den Zusammenhang von Minimum/Maximum von f und Nullstelle von f' klar zu machen.

Liebe Grüße

Alles klar, danke 😉)

Diese Mathe-Profis-Seite ist ja genial.... Das raff' dann sogar ich 😀. Danke, Anouk.

LG
Biana

Es gibt allerdings nicht nur die Summenformel

Für alle, bei denen Mathe schon eine Weile zurückliegt:

"Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler" (Basiswissen mit Praxisbezug)
von
Knut Sydsaeter und Peter Hammond

Cool, werd ich mir kaufen, danke!

Gern geschehen...!!!