Amoroso und Robinson Formel ?

U(x) = P(x) * x

U'(x)
= dp/dx * x + p .........................// Produktregel
= p * ([1/p * dp/dx * x] + 1) ...... // p ausklammern
= p * ([dp/dx * x/p] + 1) ............// etwas anders hingeschrieben: 1/p * x = x/p
= p * ([1 / (dx/dp * p/x)] + 1) .....// a / b = 1 / (b / a)
= p * ([1 / nx,p] + 1) .................// nx,p = dx/dp * p/x
= p * (1 + [1 / nx,p]) .................// Summanden umdrehen

Liebe Grüße

Ich hoffe, diese Formel wird nicht explizit nachgefragt und man kann es über den normalen Rechenweg anwenden..

embi schrieb:

Ich hoffe, diese Formel wird nicht explizit nachgefragt und man kann es über den normalen Rechenweg anwenden..

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Diese Beziehung zwischen Grenzumsatz U'(x) und Preiselastizität der Nachfrage nx,p führt quasi sofort zu der Aussage, dass im Umsatzmaximum nx,p = -1 ist, denn:

Im Umsatzmaximum ist U'(x) = 0

U'(x) = p * (1 + [1 / nx,p]) = 0

1 + [1 / nx,p] = 0

nx,p = -1

Liebe Grüße

Ich kann mir aber beim besten Willen die Formel nicht merken.. ich pack`s einfach nicht.. naja, nächstes Semester Mathe, da hoffe ich, weitere Erkenntnisse zu bekommen.

Locker bleiben!
Amoroso-Robinson = beziehung zwischen Grenzumsatz und Elastizität.
Jetzt musst du nur noch zwei Dinge beherrschen: zum einen die Produktregel, zum anderen dass man einen Quotienten a/b schreiben kann als 1/(b/a). Letzteres ist Klasse 6, 7. Darf man erwarten...

Der Grenzumsatz ist klar, denn bei U(x) = p(x) * x gilt:
U'(x) = p'(x) * x + p(x) * 1 (Produktregel sollte man schon kennen!)

Jetzt ist es gemeinhin so, dass man auf der Uni dp/dx statt p'(x) schreibt und für p(x) einfach p schreibt, denn ein bestimmter Preis p ist ja grade p(x). Eine Schreibweise, die Anfangs überflüssig erscheint und nervt aber mit fortwährender Übung so manches vereinfacht.

U'(x) = dp/dx * x + p

Was hat das mit der Elastizität e zu tun?
e = (dx/x) / (dp/p ) = (dx/x) * (p/dp) = dx/dp * x/p

Vergleiche die grün dargestellten Brüche!
Klingelt's?
Offensichtlich ist doch dp/dx genau der Kehrwert von dx/dp. Es scheint einen Zusammenhang zum Kehrwert von e zu geben.
Würde ich jetzt aber in U'(x) einfach nur für dp/dx den Ausdruck 1/e einsetzen, dann wäre das aber zunächst falsch, weil ich den blauen Teil logischerweise berücksichtigen muss, denn:
1/e = 1 / (dx/dp * x/p) = (p * dp) / (dx * x) = dp/dx * p/x

Hat mir mein Schritt aber möglicherweise doch weiter geholfen?
Offensichtlich ja, denn der grell-grüne Teil stimmt exakt mit dem dunkelgrünen Teil von U'(x) überein.
Das heißt doch nix weiter, als das dp/dx rauskommt, wenn ich 1/e = dp/dx * p/x nochmals durch p/x dividiere (also mit p/x multipliziere), denn dann fällt der Teil "p/x" bei der Formel für 1/e weg 😉

Daher ist U'(x) = [1/e : p/x] * x + p, denn
[1/e * x/p ] * x+ p = [ dp/dx * p/x * x/p ] * x + p = dp/dx * x + p = U'(x) (siehe oben).

Weil wir grade gezeigt haben (siehe Fettdruck), dass dp/dx = 1/e * p/x gilt, setzen wir eben 1/e * p/x für dp/dx ein:

U'(x) = 1/e * p/x * x + p = px/(ex) + p = p/e + p = p [(1/e) + 1] q.e.d.

@Mario Horstmann

Sehr schön erklärt. Ich hatte es zuvor verstanden, aber jetzt machte es nochmal klick.