Arbeitsnachfrage unterschiedliche Herangehensweisen

Schätzecken,

beide Lösungen sind richtig. Neben dem umgekehrten Term in der Klammer unterscheidet sich bei der anderen Herangehensweise auch durch den Exponenten der äußeren Klammer, der unter dem Bruchstrich ebenfalls einen umgekehrten Ausdruck aufweist. Die andere hat das Arbeitsangebot auf die Seite mit dem Reallohn gebracht und dann den Bruch aufgelöst, was er mathematisch darf, denn es gilt:

[tex]\frac{1}{N^{a-1}}\; =\ N^{1-a}[/tex].

Ausgangspunkt für die optimale Arbeitsnachfrage ist die Gewinnmaximierungsbedingung, die nach N, also dem Faktor Arbeit, abgeleitet und gleich Null gesetzt wird. Danach muss die Gleichnung nach N aufgelöst werden.

[tex]\mathit{max}!\ Q\; =\ N^{a}\;\cdot \;K^{1-a}\;-\;\frac{W}{P}\;-\;i\;\cdot \;K\ \ \ \Rightarrow \ \ \ Q_{N}\ =\ a\;\cdot \;N^{a-1}\;\cdot \;K^{1-a}\ \;-\;\ \frac{W}{P}\ \overset{!}{=}\ 0[/tex]


Lösung Lehrstuhl
[tex]a\;\cdot \;N^{a-1}\;\cdot \;K^{1-a}\; =\ \frac{W}{P}\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ N^{a-1}\ =\ \frac{W/P}{a\;\cdot \;K^{1-a}}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ N^{\text{*}}\ =\ \left(\frac{W/P}{a\;\cdot \;K^{1-a}}\right)^{\frac{1}{a-1}}[/tex]


Lösung andere Herangehensweise
[tex]a\;\cdot \;N^{a-1}\;\cdot \;K^{1-a}\; =\ \frac{W}{P}\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ a\;\cdot \;K^{1-a}\ =\ \frac{W/P}{N^{a-1}}\ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ a\;\cdot \;K^{1-a}\ =\ W/P\;\cdot \;N^{1-a}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \left(\frac{a\;\cdot \;K^{1-a}}{W/P}\right)^{\frac{1}{1-a}}\ =\ N^{\text{*}}[/tex]

und die andere Lösung ist "richtiger" als die des Lehrstuhles. Mathematisch kann man zwar die eine in die andere umformen, allerdings gilt bei abnehmender Grenzproduktivität der Arbeit: [tex] a<1[/tex]. Damit wäre bei der Lehrstuhllösung [tex]a-1[/tex] negativ. Leider (oder zum Glück) sind negative Wurzeln jedoch nicht definiert.

MfG
Thomas

Das ist nicht ganz korrekt, Thomas. Man erhält den Kehrwert des Wurzelergebnisses.

Beispiel:

und



Du hast dies sicherlich mit der Wurzel negativer Zahlen verwechselt 😉 . Doch auch hier gibt es scheinbar keine einheitliche Sichtweise, wie der Wikipedia-Artikel zur Wurzel aufzeigt.

Vielen Dank für die Hilfe.
Das hat mir schon mal weiter geholfen.