von Studenten für Studenten
Beispiel 12.2.25
- Ersteller sunnyw86
- Erstellt am
Die Regel der partiellen Integration lautet:
[tex] \int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) \left |_{a}^{b} -\int_{a}^{b} f'(x)g'(x)dx [/tex]
Im Beispiel gilt somit:
[tex] \int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = \int_{\pi}^{5\pi}xcosxdx [/tex]
somit entspricht:
f(x) = x und g'(x) = cosx
(*1*)Die erste Ableitung von x ist 1, somit folgt f'(x) = 1
Die erste Ableitung von sinx ist cos x. Wenn also g'(x) = cosx ist muss g(x) = sinx sein.
Die gerade senkrechte Linie bedeutet, dass der Funktionstherm mit dem oberen Grenzwert gebildet wird und davon subtrahiert man die mit dem unteren Grenzwert gebildeteten Funktionstherm.
Das ergibt dann den Therm
[tex] 5 \cdot \pi \cdot sin 5 \cdot \pi - \pi \cdot sin \pi[/tex]
Da [tex] sin (n \cdot \pi) [/tex] immer 0 ist wird das Ganze zu 0
Das sinx im zweiten Integral ergibt sich aus f'(x) = 1 mal g(x) = sin(x) ( siehe (*1*) )
Das negative Vorzeichen ins Integral gezogen führt dann zu:
[tex] 0 + \int_{\pi}^{5\pi} (-sinx)dx [/tex]
Das Integral von (-sin) ist der cos.
Jetz kommt wieder die Geschichte mit Obergrenze minus Untergrenze
was mit [tex] cos((2n+1) \cdot \pi) = -1 [/tex] über [tex] cosx |_{\pi}^{5\pi} [/tex]
zu [tex] cos(5\pi) - cos\pi = -1 - (-1) = 0[/tex] führt
Anm: (2n+1) ist die übliche Darstellung für ungerade Faktoren
[tex] \int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) \left |_{a}^{b} -\int_{a}^{b} f'(x)g'(x)dx [/tex]
Im Beispiel gilt somit:
[tex] \int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = \int_{\pi}^{5\pi}xcosxdx [/tex]
somit entspricht:
f(x) = x und g'(x) = cosx
(*1*)Die erste Ableitung von x ist 1, somit folgt f'(x) = 1
Die erste Ableitung von sinx ist cos x. Wenn also g'(x) = cosx ist muss g(x) = sinx sein.
Die gerade senkrechte Linie bedeutet, dass der Funktionstherm mit dem oberen Grenzwert gebildet wird und davon subtrahiert man die mit dem unteren Grenzwert gebildeteten Funktionstherm.
Das ergibt dann den Therm
[tex] 5 \cdot \pi \cdot sin 5 \cdot \pi - \pi \cdot sin \pi[/tex]
Da [tex] sin (n \cdot \pi) [/tex] immer 0 ist wird das Ganze zu 0
Das sinx im zweiten Integral ergibt sich aus f'(x) = 1 mal g(x) = sin(x) ( siehe (*1*) )
Das negative Vorzeichen ins Integral gezogen führt dann zu:
[tex] 0 + \int_{\pi}^{5\pi} (-sinx)dx [/tex]
Das Integral von (-sin) ist der cos.
Jetz kommt wieder die Geschichte mit Obergrenze minus Untergrenze
was mit [tex] cos((2n+1) \cdot \pi) = -1 [/tex] über [tex] cosx |_{\pi}^{5\pi} [/tex]
zu [tex] cos(5\pi) - cos\pi = -1 - (-1) = 0[/tex] führt
Anm: (2n+1) ist die übliche Darstellung für ungerade Faktoren
Es geht nicht um die Frage ob du zweimal integrieren musst.
Theoretisch musst du so oft integrieren bis kein Integral mehr auf der rechten Seite der Gleichung steht. Solange du aber mehr als eine Funktion im Integral hast wirst du Regeln benutzen müssen, die in der Lösung wieder ein Integral haben. Da sich aber weder [tex] e^{x}[/tex] noch eine Winkelfunktion zu einer Konstante integrieren lassen, könnte man hier die Regel der partiellen Integration bis zur Unendlichkeit anwenden. Erst die Tatsache, dass das linke Integral mit umgekehrten Vorzeichen auf der rechten Seite erscheint, hilft aus diesem Kreis auszubrechen.
[tex] \int e^{x} cos(x)dx = e^{x}sin(x)+e^{x}cos(x)-\int e^{x}cos(x)dx[/tex]
[tex] 2 \cdot \int e^{x} cos(x)dx = e^{x}sin(x)+e^{x}cos(x)[/tex]
[tex] 2 \cdot \int e^{x} cos(x)dx = e^{x}(sin(x)+cos(x))[/tex]
[tex] \int e^{x} cos(x)dx = \frac {e^{x}}{2} \cdot(sin(x)+cos(x))[/tex]
So und jetzt kommt noch die Konstante c fürs unbestimmte Integral
[tex] \int e^{x} cos(x)dx = \frac {e^{x}}{2} \cdot(sin(x)+cos(x))+c[/tex]
