Definitheit bei nicht-symmetrischen Matrizen

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Dr Franke Ghostwriter
Definitheit bei nicht-symmetrischen Matrizen

Hallo Zusammen,
ich habe mal eine Frage zur Definitheit. Um Definitheit zu bestimmen kenne ich 2 Verfahren

1. Hauptminorenkriterium (für postiv und negativ definit)
2. Eigenwertkriterium (zusätzlich ist Semidefinitheit überprüfbar)

Das erste Verfahren geht nur bei symmetrischen Matrizen.
Kann mir jemand sagen, der Ahnung von Mathe hat, ob das 1. Kriterium für Matrizen gilt, die ich symmetrisch mache mit 0.5*(A+AT) oder nicht, und wie die Uni das handhabt.
5 Matrizen über Eigenwerte zu bestimmen ist nämlich ganz schön aufwendig.
 
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Es geht um reelle Matrizen? Wenn ich mich nicht irre, ist für jede Matrix A mit dem symmetrischen Anteil [tex]B := \frac{1}{2}(A+A^T)[/tex] stets [tex]x^T A x = x^T B x[/tex] (Beweis: Einfach ausrechnen, dabei benutzen dass [tex]x^T A^T x = (x^T A^T x)^T = x^T A x[/tex] wegen [tex]x^T A^T x \in \mathbb{R}^1[/tex]). Du kannst also die Definitheit (dabei kommt es ja auf das Vorzeichen von [tex]x^T A x[/tex] an) auch über den symmetrischen Anteil bestimmen.
 
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