Einkommenselastizität für Dummies!?

ich bräuchte dringend Hilfe beim lösen folgender (2) Aufgaben:

1) Nachfragefunktion für Gut 1 lautet: q1 = 25 - 4 p1

Bei einem Preis von p1 = 4 wird die Menge q1 = 8 nachgefragt. Gesucht ist die Elastizität.

2) Einkommenselastizität: Die Engelkurve für Gut 1 laute q1 = y½.

Bestimmen Sie die Einkommenselastizität der Nachfrage für ein Einkommen von y1 = 4 und y2 = 25

Ich sitze geschlagene drei Stunden an diesen Aufgaben, finde aber keine Lösung. Selbst die Beispiele im Netz, und auch in diesem Forum, konnten mir nicht helfen. Mittlerweile bin ich nur noch fertig und erschöpft (ein Blick auf die Uhrzeit verrät meine nächtlichen Strapazen). Ich suche hier keine Formelsammlung o. ä., sondern viel mehr eine "step-by-step"-Erklärung. Irgendjemanden, der sich doch die Mühe mit mir macht und es mir plausibel bis ins letzte Detail erklärt.

Ich versteh' ja noch nicht einmal, wie eine (wie ich mit der Zeit rausgefunden habe) notwendige Ableitung funktioniert. Also nochmal: erklärt mir bitte jeden - für euch noch so selbstverständlichen - Rechenschritt.

Vielen Dank im Voraus!

PS. Die Interpretation des Ganzen habe ich verstanden. Mir gehts allein um die Rechnung.

Nachfrageelastizität nach dem Einkommen:
(1) [tex] \eta_{q,y} = \frac{\partial q}{\partial y}\cdot\frac{y}{q} [/tex]

(2) [tex] q_1=25-4p_1 [/tex]
(3) [tex] q_1=\sqrt {y} [/tex]

ableiten von 3:
[tex] \frac {\partial q} {\partial y} = \frac {1} {2 \sqrt y }[/tex]

einestzen in (1)
[tex] \eta_{q,y} = \frac {1} {2 \sqrt y} \cdot\frac{y}{q} [/tex]

für 1
p1 = 4 q1 = 8 aus (3) y=q²=64
Entweder:

[tex] \eta_{q,y} = \frac {1} {2 \sqrt {64}} \cdot\frac{64}{8}= 0,5 [/tex]
Oder die wollen da die Elastizität der Nachfrage nach dem Preis, da das Verhältnis y zu q erst bei 2 gegeben wird:
(4) [tex] \eta_{q,p} = \frac{\partial q}{\partial p}\cdot\frac{p}{q} [/tex]
dann ableiten von (2)
[tex] \frac{\partial q_1} {\partial p_1} = -4[/tex]

einsetzen in (4):
[tex] \eta_{q,p} = -4 \cdot\frac{p}{q} [/tex]

p1 = 4 q1 = 8
=>
[tex] \eta_{q,p} = -4 \cdot\frac{4}{8} =- 2 [/tex]




für 2
y1 = 4
=> q=2
[tex] \eta_{q,y} = \frac {1} {2 \sqrt {4}} \cdot\frac{4}{2}= 0,5 [/tex]

y2 = 25
=>
q=5
[tex] \eta_{q,y} = \frac {1} {2 \sqrt {25}} \cdot\frac{25}{5}= 0,5 [/tex]

Hoffe ich habe mich nicht allzuviel vertippt oder verechnet und es ist klarer geworden.

Also ich verstehs immer noch nicht. Da stehen für mich nur irgendwelche Formeln, die ich nicht ansatzweise imstande zu verwenden.

Fangen wir ganz vorne an:

zu 1)

(2) https://www.studienservice.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%20q_1=25-4p_1
(3)

Zum Vergrößern anklicken....

Warum ist q1 einmal https://www.studienservice.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%20q_1=25-4p_1 und einmal ? Und was ist y ?

Zum Vergrößern anklicken....

Ergibt das nicht "-2"?
zu 2)

Zum Vergrößern anklicken....

Lt. Aufgabenstellung ist die Formel (dq1 / dy) / (y / q1)

Wie erhalte ich "dq1"?

Habt ein klein wenig Verständnis 😱

Ich rechne bei 1) so:

q = 25 - 4 * p ... // dq/dp = -4 (1. Ableitung von q nach p)[/COLOR]

p = 6 - 1/4 * q ...// dp/dq = -1/4 (1. Ableitung von p nach q)[/COLOR]

q = 8
p = 4

Preiselastizität ep4 der Nachfrage bei q = 8, p = 4:

ep4
= (dq/q) / (dp/p)
= (dq/dp)[/COLOR] * (p/q) ... // dq/dp = -4[/COLOR] (1. Ableitung von q nach p)
= -4[/COLOR] * 4/8
= -2

Nachfragelastizität eq8 des Preises bei q = 8, p = 4:

eq8 = 1/ep4 = 1/-2 = -1/2

Oder:

eq8
= (dp/p) / (dq/q)
= (dp/dq)[/COLOR] * (q/p) ...// dp/dq = -1/4[/COLOR] (1. Ableitung von p nach q)
= -1/4[/COLOR] * 8/4
= - 1/2

Allgemeiner:

q = a - b * p ...// dp/dq = -b (1. Ableitung von p nach q)[/COLOR]

p = a/b - q/b = (a - q) / b ...// dp/dq = -1/b (1. Ableitung von p nach q)[/COLOR]

Preiselastizität ep(p) der Nachfrage als Funktion des Preises p:

ep(p)
= (dq/q) / (dp/p)
= (dq/dp)[/COLOR] * (p/q) ...// dp/dq = -b[/COLOR] (1. Ableitung von p nach q)
= -b[/COLOR] * p / (a - b * p)
= b * p / (b * p - a)

Im Beispiel: a = 25, b = 4, p = 4, d.h. ep4 = ep(4) = 4 * 4 / (4 * 4 - 25) = -2

Nachfrageeleastizität eq(q) des Preises als Funktion der Nachfrage q:

eq(q)
= (dp/p) / (dq/q)
= (dp/dq)[/COLOR] * (q/p) ...// dp/dq = -1/b[/COLOR] (1. Ableitung von p nach q)
= -1/b[/COLOR] * q / ((a - q) / b)
= -q / (a - q)
= q / (q - a)

Im Beispiel: a = 25, q = 8, d.h. eq8 = eq(8) = 8 / (8 - 25) = -1/2

Liebe Grüße

Ich rechne bei 2) so:

q = y^1/2 ... // dq/dy = 1/2 * y^-1/2 (1. Ableitung von q nach y)[/COLOR]

Einkommenselastizität ey4 der Nachfrage bei y = 4, q = y^1/2 = 4^1/2 = 2

ey4
= (dq/q) / (dy/y)
= (dq/dy)[/COLOR] * (y/q) ... // dq/dy = 1/2 * y^-1/2 (1. Ableitung von q nach y)
= 1/2 * 4^-1/2[/COLOR] * 4/2 ...// y = 4, q = 2
= 1/2

Einkommenselastizität ey25 der Nachfrage bei y = 25, q = y^1/2 = 25^1/2 = 5

ey25
= (dq/q) / (dy/y)
= (dq/dy)[/COLOR] * (y/q) ... // dq[/COLOR]/dy = 1/2 * y^-1/2 (1. Ableitung von q nach y)
= 1/2 * 25^-1/2[/COLOR] * 25/5 ...// y = 25, q = 5
= 1/2

Allgemeiner:

Einkommenselastizität ey(y) der Nachfrage als Funktion des Einkommens y mit q = y^1/2:

ey(y)
= (dq/q) / (dy/y)
= (dq/dy)[/COLOR] * (y/q) ..// dq/dy = 1/2 * y^-1/2 (1. Ableitung von q nach y)
= 1/2 * y^-1/2[/COLOR] * y / y^1/2 ..// q = y^1/2
= 1/2 * y^-1/2 * y * y^-1/2
= 1/2 * y^-1 * y
= 1/2

Für q = y^1/2, ist die Einkommenselastizität der Nachfrage also für jedes Einkommen 1/2

Liebe Grüße

HansPeter23 schrieb:

Also ich verstehs immer noch nicht. Da stehen für mich nur irgendwelche Formeln, die ich nicht ansatzweise imstande zu verwenden.

Fangen wir ganz vorne an:

zu 1)
Warum ist q1 einmal https://www.studienservice.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%20q_1=25-4p_1 und einmal

?

Zum Vergrößern anklicken....

Das steht so in der Aufgabenstellung, die Du gepostet hast. 😉
" Nachfragefunktion für Gut 1 lautet: q1 = 25 - 4 p1"
und
"q1 = y½."
[tex] y^{1/2} = \sqrt y [/tex]

HansPeter23 schrieb:

Und was ist y ?

Zum Vergrößern anklicken....

y=Einkommen p=Preis q=Menge

HansPeter23 schrieb:

Ergibt das nicht "-2"?

Zum Vergrößern anklicken....

Ja, das kommt davon, wenn man in der Kaffeepause rumrechnet.

HansPeter23 schrieb:

zu 2)
Lt. Aufgabenstellung ist die Formel (dq1 / dy) / (y / q1)

Wie erhalte ich "dq1"?

Habt ein klein wenig Verständnis 😱

Zum Vergrößern anklicken....

Ich vermute, daß es da mehr als ein Gut geben soll, also dieses den Zähler 1 hat. Das tut aber der algemeinen Formel keinen Abbruch.

Es gilt immer wenn nach der Elastiztät von a nach b gefragt ist
[tex] \eta_{a,b} = \frac{\partial a}{\partial b}\cdot\frac{b}{a} [/tex]

Man muß dann nur das jeweilige a und b erkennen, eventuell einsetzen und ableiten, mehr ist da nicht verlangt.

P.S. ist da was an der Zitierfunktion geänder worden?
Mit Opera werden im Zitat nicht mehr die Tex-Formeln eingebunden, etwas blöde so.

HansPeter23 schrieb:

Also ich verstehs immer noch nicht. Da stehen für mich nur irgendwelche Formeln, die ich nicht ansatzweise imstande zu verwenden.

Fangen wir ganz vorne an:

zu 1)
Warum ist q1 einmal https://www.studienservice.de/cgi-bin/mimetex.cgi?%20q_1=25-4p_1 und einmal

?

Zum Vergrößern anklicken....

Das steht so in der Aufgabenstellung, die Du gepostet hast. 😉
" Nachfragefunktion für Gut 1 lautet: q1 = 25 - 4 p1"
und
"q1 = y½."
[tex] y^{1/2} = \sqrt y [/tex]

HansPeter23 schrieb:

Und was ist y ?

Zum Vergrößern anklicken....

y=Einkommen p=Preis q=Menge

HansPeter23 schrieb:

Ergibt das nicht "-2"?

Zum Vergrößern anklicken....

Ja, das kommt davon, wenn man in der Kaffeepause rumrechnet.

HansPeter23 schrieb:

zu 2)
Lt. Aufgabenstellung ist die Formel (dq1 / dy) / (y / q1)

Wie erhalte ich "dq1"?

Habt ein klein wenig Verständnis 😱

Zum Vergrößern anklicken....

Ich vermute, daß es da mehr als ein Gut geben soll, also dieses den Zähler 1 hat. Das tut aber der algemeinen Formel keinen Abbruch.

Es gilt immer wenn nach der Elastiztät von a nach b gefragt ist
[tex] \eta_{a,b} = \frac{\partial a}{\partial b}\cdot\frac{b}{a} [/tex]

Man muß dann nur das jeweilige a und b erkennen, eventuell einsetzen und ableiten, mehr ist da nicht verlangt.

Oder meinst Du das "d" vor dem dq1?
dq1/dy=[tex] \frac {\partial q_1} {\partial y} =q_1' [/tex]
Also die Ableitung von q1 nach y.

P.S. ist da was an der Zitierfunktion geändert worden?
Mit Opera werden im Zitat nicht mehr die Tex-Formeln eingebunden, etwas blöde so.

Wow... super Resonanz hier! 🙂

Aber mal eine weitere Frage: wie schauts denn auf, wen ich q1 = 10 – 2p1 gegeben habe, und Preiselastizitäten der Nachfrage für die Preise

p1 = 3 und p1 = 5

rechnen soll?

HansPeter23 schrieb:

Wow... super Resonanz hier! 🙂

Aber mal eine weitere Frage: wie schauts denn auf, wen ich q1 = 10 – 2p1 gegeben habe, und Preiselastizitäten der Nachfrage für die Preise

p1 = 3 und p1 = 5

rechnen soll?

Zum Vergrößern anklicken....

Hallo Hans-Peter,

rechne es doch aus, Du solltest jetzt wissen wie es geht. Ich mache es mir einfach und verwende meine oben hergeleitete Formel (siehe Beitrag #4). Ich rate allerdings davon ab, solche Formel auswendig zu lernen. Ratsam ist es, die Formeln aus der Definition (dq/q) / (dp/p) herleiten zu können.

q = a - b * p

q = 10 - 2 * p, d.h. a = 10, b = 2

Preiselastizität der Nachfrage als Funktion des Preises ep(p) = b * p / (b * p - a) ... (Herleitung siehe oben: #4)

p = 3: ep(3) = 2 * 3 / (2 * 3 - 10) = 6/-4 = -3/2

"Zu Fuß":

ep(3)
= (dq/q) / (dp/p)
= (dq/dp) * (p/q) ... // dq/dp = -2, da q = 10 - 2 * p
= -2 * 3/4 ... // p = 3, q = 10 - 2 * 3 = 4
= -3/2

p = 5: ep(5) = 2 * 5 / (2 * 5 - 10) = 10/0 d.h. ep(5) ist nicht definiert

Tatsächlich ist ep(5) = -unendlich

Beachte: Für p = 5 ist q = 10 - 2 * 5 = 0, d.h. es gibt keine Nachfrage. Aber es ist q(p) > 0 für p < 5, d.h. eine marginale Preisreduzierung führt hier zu einer Nachfrage > 0, d.h. die relative Nachfrageerhöhung ist unendlich.

Liebe Grüße