Im Prinzip stellst Du zuerst das Integral auf.
Nehmen wir z.B. die Aufgabe 14 der Klausur vom März 2008
Hier musst du das Integral von a - b berechnen. Da die Funktion unterhalb der x-Achse verläuft, wäre die Fläsche ohne Betragszeichen negativ. Also musst Du entweder das Integral von b (unten) bis a (oben) berechnen oder ein Betragszeichen setzen. Schau Dir einfach die einzelnen Lösungen an und verfolge die einzelnen Flächen.
Lösung A: falsch. Zwar ist die Rechnung richtig, allderings wäre die Fläche hier negativ: von (0 bis b) - (0-a) ergibt diese Fläche, wenn du sie voneinander anziehst. Da der Graph aber unterhalb der x-Achse liegt ist 0 bis b negativ und 0 bis a auch. Richtig wäre hier, wenn Betragszeichen gesetzt wären oder es genau umgekehrt wäre, also (b bis 0) - (a bis 0)
=> das B richtig ist
C ist genau der selbe Fehler, von a bis b ist negativ. Wären Betragszeichen da oder würde dort von b bis a stehen wäre es richtig (weil der Graph in diesem Bereich negativ ist)
=> D ist richtig und E und F auch (Entweder musst Du bei einem negativen Bereich von rechts nach links rechnen oder Betragszeichen setzen. Bei den Betragszeichen ist es egal wierum Du rechnest)
Eine etwas schwierigere Fragestellung, aber eigentlich auch nicht, ist die Aufgabe 5 der September 2009er Klausur.
Lösung A: richtig. Das Integral steht im Betrag, ist also positiv und reicht von a bis b
Lösung B: falsch, zwar stimmen die Intervalle, aber von b bis a ist negativ.
Merke Dir einfach: Ist die Fläche unterhalb der X-Achse zu bestimmen, ist die Fläche positiv von rechts nach links, ist die Fläche oberhalb der X-Achse von links nach rechts. Mit dem Betrag wird die Fläche ja immer positiv.
Lösung C: von 0 bis b ist positiv, von 0 bis a auch. Allerdings ziehst Du hier zwei positive Flächen voneinander ab. Es kann also gar nicht die gesuchte Fläche sein. Richtig wäre, wenn dort ein + stehen würde.
Lösung D: Wie oben beschrieben, ist die Flächenbestimmung bei einem Graphen oberhalb der x-Achse immer von links nach rechts. Hier steht allerdings b bis a, also von rechts nach links. Damit wäre die Fläche negativ. Aber das Minus-Zeichen dreht das ganze wieder um. Deshalb ist diese Lösung auch richtig.
Lösung E: 0 bis a ist negativ (rechts nach links), 0 bis b ist positiv (links nach rechts), a bis b ist positiv (links nach rechts). Diese Lösung kann nicht richtig sein. Stell Dir bildlich vor, wie Du die Fläche 0 bis a von 0 bis b abziehst, weil 0 bis a ja negativ ist. Dann wärst du bei ungefähr der Hälfte von 0 bis b und davon ziehst du dann noch die komplette Fläche a bis b ab. Somit wäre der komplette Teil negativ.
Lösung F ist richtig. Das Minuszeichen ist irrelevant, da der Term eh in Betrag steht.
Wie Du siehst, muss Du Dir das ganze einfach nur bildlich vorstellen und die Flächen voneinander abziehen. Merken musst du Dir nur, dass wenn der Graph unterhalb von der x-Achse verläuft, muss das Integral von rechts nach links berechnet werden, damit es positiv ist oder ein Minuszeichen und dann von links nach rechts oder Betragszeichen. Läuft der Graph oberhalb der x-Achse ist es genau umgekehrt.
Schwierig kann es nur werden, wenn Du Nullstellen in dem Graphen hast. Dann musst Du immer bis zur Nullstelle integrieren und zwar auch wieder nach diesen Regeln. Aber das kam, glaub ich, bisher nicht in den Klausuren vor.
