Frage zu den Lehrstuhlaufgaben Kurseinheit 2

EBWL KE 2 Aufgabe 1 c)

EBWL KE 2 Aufgabe 1 c)

Monopolist:
p(x) = 42 - 5 * x
K(x) = 20 + 2 * x

Linnea schrieb:

In der Lösung zu Aufgabe c) steht p(x)x = 42x-5x^2 und dann erhält man durch x auf null stellen die 4,2. Verstehe hier jedoch, nicht warum ich das so machen müsste, da ich mit 4 aus Antwort a) gerechnet habe.

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In a) geht es um die gewinnmaximale Absatzmenge, in c) jedoch um die umsatzmaximale Absatzmenge, das sind verchiedene Absatzmengen, da Gewinn und Umsatz verschiedene Größen sind

Umsatz U(x) = p(x) * x
Gewinn G(x) = U(x) - K(x)

Gefragt ist in c) nach der Preiselastizität im Umsatzmaximum. Da die Absatzmenge im Umsatzmaximum und die Absatzmenge im Gewinnmaximum verschieden sind (die gewinnmaximierende Absatzmenge ist beim Monopolisten kleiner als die umsatzmaximierende Absatzmenge), sind die Preiselastizitäten bei diesen Absatzmengen ebenfalls verschieden.

Behauptung: Die Preiseleastizität e im Umsatzmaximum ist immer -1 egal wie die konkrete Preisabsatzfunktion aussieht

Beweis:

mit U(x) = p(x) * x gilt:

dU/dx
= dp/dx * x + p ............................... // Produktregel
= p * (dp/dx * x/p + 1) .....................// p ausklammern
= p * (1/e + 1) ................................// dp/dx * x/p = 1/[dx/dp * p/x] = 1/e
= 0 ...............................................// im Umsatzmaximum!

und damit e = -1 im Umsatzmaximum q.e.d.

Im Umsatzmaximum ist die Preiselastizität immer -1 egal wie die konkrete Preisabsatzfunktion aussieht.

Für das konkrete Beispiel lässt sich die Preiselastizität im Umsatzmaximum auch "zu Fuß" ausrechnen, z.B. so:

U(x)
= p(x) * x
= (42 - 5 * x) * x
= - 5 * x^2 + 42 x

U'(x) = - 10 * x + 42 = 0 für x = 4,2 (U''(x) = -10 < 0, also Maximum)

Umsatzmaximum ist also bei x = 4,2 und bei p = p(4,2) = 42 -5 * 4,2 = 21

Jetzt Preiselastizität e(4,2) im Umsatzmaximum, d.h. für x = 4,2 und p = 21

e(4,2)
= (dx/x) / (dp/p)
= (dx/dp) * (p/x)
= [1/(dp/dx)] * (p/x)
= -0,2 * (21/4,2) ................. dp/dx = -5, d.h. 1/(dp/dx) = -1/5 = -0,2
= -1 .................................. wie erwartet!


Liebe Grüße

mit Hilfe der Kurseinheit und Deinen diesbezüglichen Erläuterungen habe ich die Aufgabe nochmal durchgerechnet und komme jetzt auch auf das selbe Ergebnis. Da bin ich ja schön darauf reingefallen und hatte die Preiselastizität im Gewinnmaximum berechnet. Aber lieber mache ich bei den Übungen Fehler als in der Klausur.

Du hast mir sehr geholfen, vielen Dank!

Liebe Grüße,
Linnea