Frage zur quadratischen Ergänzung (technische Äquivalenz)

Setze q = 1+i
Setze T = 1000q^(-1) - 10q^(-2) + 1000q^(-3) | *q³

(*) q³*T = 1000q² - 10q + 1000
Man sieht, dass bei q > 0, was für alle nicht-negativen Zinssätze gilt, q³ > 0 ist. Damit ist die Multiplikation mit q³ auch Vorzeicheninvariant.
Auf den rechten Teil der Gleichung (*) kann nun die quadratische Ergänzung angewendet werden. Dazu soll die rechte Seite in die Form (a+b)² + y gebracht werden, wobei y >= 0 sein muss.

Weil (a+b)² = a² + 2ab + b² sieht man zweierlei:
(1.) a² = 1000q², also a = Wurzel(1000) * q
(2.) 2ab = -10q
(2.1) b = -10q/2a = -5q/a

Setzt man a aus (1.) in (2.1) ein, erhält man:
b = -5q/[Wurzel(1000)*q]
b = -5/Wurzel(1000)

Da nun a und b bekannt sind, ergänzt man auf der rechten Seite von (*) das b², wohlwissend, dass um die Gleichheit zu erhalten, diese Addition auch auf der linken Seite gemacht werden muss:
q³*T + [-5/Wurzel(1000)]² = 1000q² - 10q + [-5/Wurzel(1000)]² + 1000

Der blau markierte Teil stellt unser (a+b)² dar!

q³*T + 25/1000 = [Wurzel(1000)*q - 5/Wurzel(1000)]² + 1000
q³*T = [Wurzel(1000)*q - 5/Wurzel(1000)]² + 1000 - 25/1000
T = 1/q³ * {[Wurzel(1000)*q - 5/Wurzel(1000)]² + 999,975}

Weil q³ > 0 ist auch T > 0.

Feddich.