geometrische Reihe / Rentenbarwertfaktor

Henrik,

Die Formel für den Rentenbarwertfaktor kann mit vollständiger Induktion bewiesen werden.

Definition: RBF(i, n) = q^-1 + q^-2 + q^-3 + ... + q^-n wobei q = 1 + i und i der Zins ist

Behauptung: Es gilt RBF(i, n) = (q^n - 1) / (q^n * i) für alle n >= 1

Beweis durch vollständige Induktion über n:

Induktionsanfang: n = 1:

RBF(i, 1)
= q^-1
= 1 / q
= i [/COLOR]/ (q * i) ......................// mit i/i erweitern
= (q - 1[/COLOR]) / (q * i) ............// i = q -1[/COLOR]
= (q^1 - 1) / (q^1 * i)

Also: Formel simmt für n = 1

Induktionsschritt: n = n + 1:

RBF(i, n+1)
= q^-1 + q^-2 + q^-3 + ... + q^-n + q^-(n+1)[/COLOR]
= (q^n - 1) / (q^n * i) + q^-(n+1)[/COLOR] ......................// Induktionsvoraussetzung angewendet
= [(q^n - 1) + q^-(n+1) * q^n * i] / (q^n * i) .....// q^-(n+1) auf den Nenner (q^n * i) bringen
= [q^n - 1 + q^-1 * i] / (q^n * i)
= q/q * [q^n - 1 + q^-1 * i] / (q^n * i) ...............// mit q/q erweitern
= (q^(n+1) - q + 1 * i) / (q^(n+1) * i)
= (q^(n+1) - q + q - 1) / (q^(n+1) * i) ...............// i = q -1
= (q^(n+1) - 1) / (q^(n+1) * i)

Also: Formel simmt für n = n + 1 unter der Vorausetzung, dass sie für n stimmt

Induktionsanfang + Induktionsschritt: q.e.d. - Formel stimmt für alle n >= 1

Liebe Grüße

Soweit, so gut Chrissi!

Ersteinmal vielen Dank, dass du Dir immer solche Mühen machst! (zum Glück habe ich schon einmal vollst. Induktion gehabt 😉 )
Wir haben zwar jetzt bewiesen, dass das für alle n € N gilt, jedoch hapert es bei mir auch beim Ursprung von RBF(i, n) = (q^n - 1) / (q^n * i).

Ich könnte jetzt sagen:" Egal, will eh niemand wissen.", aber mir Fehlt das Verständnis von folgendem Übergang:
RBF(i, n) = q^-1 + q^-2 + q^-3 + ... + q^-n NACH---->>>> = (q^n - 1) / (q^n * i)

Wie komme ich dort hin?
Komme ich da durch kurze Lektüre über Folgen und Reihen hin oder ist der Weg doch einfacher?

Viele Grüße
Henrik

Henrik,

im Induktionsbeweis steckt ja eine Konstruktionsanleitung für die Formel. Betrachte den Induktionsanfang und den Induktionsschritt. Man startet mit der Definition von RBF(i, n), um nach einigen Gleichungsumformungen bei der Formel zu enden. Diese Gleichungskette ist Dein gesuchter Übergang von der Definition zur Formel für ein festes aber beliebiges n >=1.

Beispiel: n = 2

RBF(i, 2)
= q^-1 + q^-2 ................................................// Start: Definition für n = 2
= 1 / q + q^-2
= i / (q * i) + q^-2
= (q - 1) / (q * i) + q^-2
= (q^1 - 1) / (q^1 * i) + q^-2
= (q^1 - 1 + q^-2 * q^1 * i) / (q^1 * i) ..........// Gemeinsamer Nenner (q^1 * i)
= (q^2 - q + q^-1 * q^1 * i) / (q^2 * i) ..........// mit q/q erweitern
= (q^2 - q + i) / (q^2 * i)
= (q^2 - 1) / (q^2 * i) ....................................// Ende: Formel für n = 2

Du kannst für ein beliebiges n die Gleichungskette von der Definition zur Formel hinschreiben (unter Verwendung von Induktionsanfang und Induktionsschritt):

RBF(i ,n)
= q^-1 + q^-2 + ... + q^-n .............Start: Definition RBF für n
= ...
= ...
= ...
= (q^n - 1) / (q^n * i) ......................Ende: Formel für RBF n

Einen intuitiven Zugang zu der Formel habe ich auch nicht, aber mir reicht die Gleichungskette für das Verständnis.

Liebe Grüße

Ergänzung dazu:
Unter Einf
findet man auch noch eine gute Herangehensweise an den RBF unter Simulationen und Animationen zur Kurseinheit 3.

Grüße
Henrik