Gewinnmaximierung um Monopol

Michaela,

hab grad voellig entnervt Mathe ins Eck gepfeffert (die spinnen, die Roemer 😎 ) und brauch mal etwas Abwechslung ...

Ok, here goes:
P(x) = -2x + 32
E'(x) = -4x + 32
GK'(x) = 4x + 16

E' und GK' gleichsetzen gibt
-4x + 32 = 4x + 16
8x = 16
x = 2

x = 2 eingesetzt in P(x)
P(2) = -2*2 + 32 = 28

Schoenen Abend noch!
Ciao, Caro

kimba1910 schrieb:

Ein Monopolist verfügt über folgende Preis-Absatz-Funktion

x= -0,5P+ 16

Hier schon mal die eine Merkwürdigkeit

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Das ist weder merkwürdig noch ein Versehen. Ob der Preis-Absatzmenge-Zusammenhang des Monopolisten nun als Funktion des Preises die Absatzmenge oder als Funktion der Absatzmenge den Preis beschreibt ist gleichwertig, die eine Funktion ist lediglich die Umkehrfunktion der anderen Funktion.

Falls x(p) = -0,5 * p + 16 die Absatzmenge x als Funktion des Preises p angibt,

dann gibt p(x) = -2 * x + 32 den Preis p als Funktion der Absatzmenge x an

p(x) ist die Umkehrfunktion von x(p) und
x(p) ist die Umkerfunktion von p(x)

https://de.wikipedia.org/wiki/Umkehrfunktion#Berechnung_der_Umkehrfunktion

Liebe Grüße

Umkehrfunktion. Ist das auch Stoff vom Mathematik Kurs ?

vienna schrieb:

Umkehrfunktion. Ist das auch Stoff vom Mathematik Kurs ?

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das ist Schulmathematik (Analysis), die Bildung der Umkehrfunktion gehört in jedem Fall in jede WiWi toolbox wie Ableiten, Schnittpunktberechnung oder Gleichungslösen etc.

Vergleiche Abbildungen 55, 56 (S. 39 und 41 oben) mit Abbildung 57 (S. 41 unten) in EBWL KE 2. In Abbildung 55 und 56 beschreibt die PAF den Preis als Funktion der Absatzmenge (für die Gewinnmaximierung). In Abbildung 57 wird die PAF als Funktion des Preises zur Ermittlung der Absatzmenge (Nachfrage) betrachtet (für die Preiselastizität der Nachfrage).

Abhängig davon welche Größe (Preis oder Absatzmenge) im Betrachtungszusammenhang die unabhängige und welche die abhängige ist, wird mal die eine und mal die andere Darstellung benötigt.

Die Umkehrfunktion zu bilden ist ja kein Hexenwerk. Um die Umkehrfunktion g von f zu erhalten, wird lediglich die Funktionsgleichung nach der unabhängigen Variablen umgestellt: Aus y = f(x) = ... x ... wird x = g(y) = ... y ...

Die Kurve von g entsteht aus der Kurve von f durch Spiegelung der Kurve von f an der Geraden y = x im Koordinatensystem und umgekehrt, d.h. die Kurven von f und g sind Spiegelbilder voneinander mit Spiegelachse y = x.

Der Definitionsbereich von g ist der Wertebereich von f und der Wertebereich von g ist der Definitionsbereich von f.

Liebe Grüße

oh man, da hatte ich ja gestern mehr als ein Brett vor´m Kopf.

Ich danke euch für die super schnelle Aufklärung und wünsche euch einen schönen Sonntag.

Bis dann Michaela

Bei der obigen Aufgabe braucht man den Umweg über die Umkehrfunktion übrigens nicht direkt gehen, die "Umkehrung" ergibt sich indirekt/automatisch/implizit (führt aber zu mehr Rechnerei)

Mit
x(p) = -0,5 * p + 16 und
K(x) = 2 * x^2 + 16 * x + 25

lassen sich die Erlös, Kosten und der Gewinn in Abhängigkeit vom Preis wie folgt bestimmen:

E(p) = x(p) * p
K(p) = K(x(p)) = 2 * x(p)^2 + 16 * x(p) + 25

G(p)
= E(p) - K(p)
= x(p) * p - K(x(p))
= x(p) * p - 2 * x(p)^2 - 16 * x(p) - 25
= -2 * x(p)^2 + (p - 16) * x(p) - 25

Jetzt wird das Maximum von G(p) durch Ableitung von G nach p bestimmt:

G'(p)
= -4 * x(p) * x'(p) + x(p) + (p - 16) * x'(p) ...// Mit Ketten- bzw. Produktregel
= 2 * x(p) + x(p) - 0,5 * p + 8 ......................// Beachte: x'(p) = -0,5
= 3 * (-0,5 * p + 16) - 0,5 * p + 8 .................// Beachte: x(p) = -0,5 * p + 16
= -2 * p + 56

G'(p) = -2 * p + 56 = 0 falls p = 28

2. Ableitung G''(p) = - 2 < 0, d.h. bei p = 28 hat G(p) ein Maximum

x(28) = - 0,5 * 28 + 16 = 2

Also: Gewinnmaximaler Preis p = 28, gewinnmaximale Absatzmenge x = 2

Augenscheinlich ist dieser Weg umfangreicher/umständlicher, damit fehleranfälliger, besser ist es m.E. die Umkehrfunktion explizit zu bilden und zu verwenden.

Liebe Grüße