Grenzerlös bei der Hälfte der Sättigungsmenge

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Mandarine

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Dr Franke Ghostwriter
ich habe eine grundsätzliche Frage, warum schneidet die Grenzerlöskurve genau bei der Hälfte der Sättigungsmenge? Ich weiß dass rechts davon der unelastische Bereich ist und links der elastische, aber wie kann man das erklären bzw. herleiten?
Grüße
 
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Inverse Nachfragefunktion: P(X) = a - b * X

Umsatz: U(X) = X * P(X) = X * (a - b * X) = a * X - b * X^2

Grenzumsatz: U'(X) = a - 2 * b * X = 0

Also: Umsatzmaximum ist bei X = 1/2 * a/b

Preiselastizität e im Umsatzmaximum X = 1/2 * a/b:

e
= (dX/X) / (dP/P)
= (dX/dP) * P/X
= -1/b * (a - b * X) / X
= -1/b * (a/X - b)
= -1/b * (a/[1/2 * a/b] - b) ......// X = 1/2 * a/b einsetzen
= -1/b * (2 * b - b)
= -1/b * b
= -1

Die Preiselastizität ist also im Umsatzmaximum X = 1/2 * a/b immer e = -1

e
= -1/b * P/X
= -1/b * (a - b * X) / X
= -1/b * (a/X - b)

Für X < 1/2 * a/b ist e < -1, d.h. die Nachfrage reagiert elastisch (Für X = 0 geht e nach -oo)

Für X > 1/2 * a/b ist e > -1, d.h. die Nachfrage reagiert unelastisch (für X = a/b ist e = 0)


Liebe Grüße
 
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