Grenzkostenfunktion Minimum der totalen Stückkosten

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Princess82

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Dr Franke Ghostwriter
Grenzkostenfunktion: Minimum der totalen Stückkosten

So, nun geht es mit Funktionen weiter und ich bräuchte diesbezüglich Hilfe.

Aufgabe 1
Gegeben sei folgende Funktionen:


K'(x)= dK/dx= 6*^2 - 5

Berechnen Sie die Gesamtkostenfunktionen bei einem Fixkostenbetrag von 400 Euro. Bei welcher Produktionsmenge liegt das Minimum der totalen Stückkosten? Wie hoch sind die Stückkosten hier?





Aufgabe 2

Gegeben folgende Güternachfragefunktion:

p= 100 - 0,05 ^2

Die Kostenfunktion laute:

K8x)= 1000 + 0,5^3 - 3^2 + 10x

Berechnen Sie das Gewinnmaximum des Unternehmens und die dazugehörigen Werte für

-Preis und Menge
-Umsatz, Kosten und Gewinn




Wahrscheinlich ist dies gar nicht schwierig. Dennoch, ich bitte um Hilfe.
 
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Princess82,

hast Du nicht in den Funktionstermen ein paar x vergessen? Editiere doch bitte beide Aufgaben sorgfältig.

Ich gebe mal ein paar Tipps:

Aufgabe 1: Hier ist die Grenzkostenfunktion gegeben, d.h. die erste Ableitung der Gesamtkostenfunktion. Die Ableitung muss also "rückgängig" gemacht werden, um die Gesamtkostenfunktion aus der Grenzkostenfunktion zu erhalten (unter Einbeziehung der gegebenen fixen Kosten, die sich beim Ableiten in Luft aufgelöst haben, wei sie nicht von der Menge x abhängen). Gesucht ist also die Gesamtkostenfunktion K(x), deren erste Ableitung das vorgegebene K'(x) ergibt.

Aufgabe 2: Hier sind wir im Anfängerkernstoff von Mikroökonomik (Gewinnmaximierung) und ehrlich gesagt wundert mich ein bischen, dass Du zu dieser Aufgabe nichts weiss. Das kann eigentlich nicht sein, es sein denn Du machst ein bischen zu wenig. Kann es sein, dass Du Dich nur wenig mit dem Stoff befasst? Das geht auf Dauer nicht gut!

Ein Tipp: Gewinn G(x) = Umsatz(x) - Kosten(x) = p(x) * x - K(x).

Das Gewinnmaximum (die gewinnmaximale Menge) erhälst Du Durch Ableitung der Gewinnfunktion und Nullsetzen:

Gewinn für Menge x ist maximal falls der Grenzgewinn = 0 ist, d.h für die erste Ableitung G'(x) an der Stelle x gilt

G'(x) = Umsatz'(x) - Kosten'(x) = 0 (Maximum des Gewinns, siehe P.S.)

Also falls Umsatz'(x) = Kosten'(x) ("Grenzumsatz = Grenzkosten")

Betriebs-/Volkwirtschaftlich bedeutet das, der Gewinn wird nicht mehr größer, wenn der Umsatz einer zusätzlichen Mengeneinheit durch die Kosten für deren Erzeugung "aufgefressen" wird, d.h. diese zusätzliche Mengeneinheit nicht gewinnbringend ist.

Hast Du die gewinnmaximale Menge x berechnet, ergeben sich die anderen Werte durch schlichtes Einsetzen in die Funktionen.

Menge x wurde berechnet
Preis p(x) durch Einsetzen in die Preis-Absatz-Funktion p(x)
Umsatz im Gewinnmaximum= p(x) * x
Kosten K(x) im Gewinnmaximum durch Einsetzen in die Kostenfunktion
Maximaler Gewinn = Umsatz - Kosten

Bei Verständnisproblemen kannst Du gerne nachfragen.

Liebe Grüße
Chrissi

P.S. Für ein Gewinnmaximum reicht G'(x) = 0 nicht, es muss auch G''(X) < 0 sein, aber das wird oft vernachlässigt obwohl es wichtig ist, denn sonst könnte es sich auch um ein Gewinnminimum handeln (falls nämlich G''(x) > 0 ist). Die Kostenfunktionen sind in Aufgaben aber in der Regel so gestrickt, dass G''(x) < 0 ist.
 
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Also, eigentlich bin ich nicht so der Mathe- oder Wirtschaftsexperte...meine Stärken liegen in anderen Bereichen.😉

Ich befasse mich damit, weil ich's muss. Natürlich bemühe ich mich auch, um die Themen zu verstehen...und ich will auch ein Basiswissen und dieses Verständnis erlangen!! Hin und wieder macht es ja auch mal Spaß...aber bis zu einem Nobelpreis werde ich es nicht schaffen.😉

Fazit: Bei mir bedarf es viiiiel Zeit und Mühe...

In den VWL-Vorlesungen haben wir so gut, wie gar nicht gerechnet. Die Vorlesungen hätte ich mir im Nachhinein auch sparen können.

Also, ich kriege es schon hin, mit Hilfe von gegebenen Funktionen, Nutzen, Gewinne und Gleichgewichtsmengen zu berechnen...aber ich brauche dafür auch viel Zeit.

Zu dieser "Ableitungsgeschichte" der Gesamtkostenfunktionen haben wir in den Vorlesungen nicht viel gemacht. Das, was ich notiert habe, bringt mir nicht viel.
Wir haben uns mehr mit Tilgungs-, Wirtschaftlichkeits-,Rentenrechnungen etc. befasst.

Deshalb mache ich gerade auch eine Aufgabe zur Tilgungsrechnung...
Probiere es später mit den beiden Kostenfunktionsaufgaben.

Vielen Dank für deine Hilfe- es bringt schon eine Menge.
 
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Zu Aufgabe 1)

K'(x)= dK/dx= 6x^2 - 5

Zusammen mit der Angabe Fixkosten = 400 ist dann

Gesamtkostenfunktion K(x) = 2*x^3 - 5*x + 400 Ist das klar?
- 2*x^3 - 5*x weil die Ableitung 6*x^2 - 5 ist
- + 400 weil das die angegebenen Fixkosten sind

Die Stückkostenfunktion lautet S(x) = K(x)/x (Ist das klar?)
S(x) = K(x) / x mit x > 0 da K(0)/0 nicht definiert ist
= (2*x^3 - 5*x + 400) / x
= 2*x^2 - 5 + 400/x
= 2*x^2 + 400*x^-1 -5

Das Minimum der Stückkostenfunktion ist bei x mit S'(x) = 0 falls S''(x) > 0 (klar?)
S'(x) = dS/dx
= 4*x - 400*x^-2
= 4*x*(1 - 100*x^-3)
= 0
[bei x = 0 (da ist S aber nicht definiert, beachte oben x > 0) und]
bei 1 - 100*x^-3 = 0, d.h. x = 100^(1/3) ("Dritte Wurzel aus 100")

S''(x) = 4 + 2*400*x^-3 > 0 für jedes x, d.h. es liegen tatsächlich Minima vor

Die totalen Stückkosten sind also minimal bei x = 100^(1/3) = 4,642 gerundet

Stückkosten bei x = 100^(1/3):
S(x) = 2*x^2 + 400*x^-1 -5
S(100^(1/3)) = 2*100^(2/3) + 400*100^(-1/3) - 5 = 124,266 gerundet

Liebe Grüße
 
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Wenn man das Gewinnmaximum bestimmen soll, muss man die erste Ableitung der Gewinnfunktion bilden und gleich Null setzen (d.h. G'(x) = 0).

Die Lösungen dieser Gleichung in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen, ob die zweite Ableitung negativ(!) ist. Dort liegt dann ein Maximum der Funktion G vor.

Ein Problem hat man, wenn auch die zweite Ableitung gleich Null ist, dann muss man nämlich weiter ableiten. Abgesehen davon, sollte man beachten, ob der Definitionsbereich Randpunkte enthält. Die müsste man separat behandeln.
 
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Zu Aufgabe 2)

Zu berechnen ist die gewinnmaximale Absatzmenge x, alle anderen gefragten Zahlen ergeben sich damit unmittelbar durch Einsetzen in die jeweiligen Funktionen.

p(x) = 100 - 0,05 * x^2
K(x)= 1000 + 0,5 * x^3 - 3 * x^2 + 10 * x

Gewinn G(X) = Umsatz(x) - Kosten(x)
= p(x) * x - K(x)
= 100 * x - 1/20 * x^3 - 1000 - 1/2 * x^3 + 3 * x^2 - 10 * x
= -11/20 * x^3 + 3 * x^2 + 90 * x - 1000

G(x) ist maximal wenn G'(x) = 0 und G''(x) < 0
G'(x) = -33/20 * x^2 + 6 * x + 90 = 0
"Mitternachtsformel" (Lösungsformel für quadratische Gleichungen) liefert
x = (-6 +/- (6^2 + 4 * 33/20 * 90)^1/2) / (-66/20)
= (-6 +/- 630^(1/2)) / -3,3
= (-6 +/- 25,09980) / -3,3

Eine Lösung x = -5,7878 < 0 scheidet daher aus (Absatzmengen sind natürlich positiv)
Andere Lösung x = 9,4242

G''(x) = -66/20 * x + 6, d.h. G''(9,4242) = -25,09986 < 0 also Maximum bei x = 9,4242

Ergebnis: Gewinnmaximum bei Absatzmenge x= 9,4242

Die anderen Zahlen ergeben sich wie schon weiter oben erwähnt durch Einsetzen in die entsprechenden Funktionen.

Allerdings ....

Der Gewinn im Gewinnmaximum G(9,4242) ist negativ! Sehen die gegebenen Funktionen p(x) und K(x) wirklich so aus? Falls ja, sollte die Produktion eingestellt werden.

Wenn die Fixkosten allerdings nicht 1000 sondern nur 100 sind, dann ist der Maximalgewinn positiv. Die gewinnmaximierende Absatzmenge ändert sich nicht (da die Grenzkosten unabhängig von den Fixkosten sind, sprich in der ersten Ableitung der Kostenfunktion tauchen die Fixkosten nicht mehr auf), die bleibt bei x = 9,4242, aber der Gewinn G(9,4242) > 0 ist positiv.

Liebe Grüße
 
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ich beschäftige mich nun wieder mit dieser Aufgabe... Es ist kein Problem für mich, die 1.Ableitung wieder rückgängig zu machen. Das kriege ich hin.
Dass ich dann die Gesamtkostenfunktion durch x teilen muss, um die minimalen Stückkosten zu berechnen, habe ich auch verstanden.

Es ist nur die Sache, wie man teilt...das habe ich mit dem X noch nicht nachvollziehen können. Die verschwinden bei dir auf einmal alle...😉 Kürzt du sie weg?

Dass die Stückkostenfunktion am Ende so aussieht "2*x^2 + 400 *x^-1-5", habe ich leider noch nicht verstanden.🙁

Liebe Grüße
 
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Princess82 schrieb:
Es ist nur die Sache, wie man teilt...das habe ich mit dem X noch nicht nachvollziehen können. Die verschwinden bei dir auf einmal alle...😉 Kürzt du sie weg?

Dass die Stückkostenfunktion am Ende so aussieht "2*x^2 + 400 *x^-1-5", habe ich leider noch nicht verstanden
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Kürzen, genau!

K(x)/x = (2*x^3 - 5*x + 400) / x

= (2*x*x^2 - 5*x + 400) / x

= 2*x^2 - 5 + 400/x

= 2*x^2 - 5 + 400*x^-1

Liebe Grüße
 
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Die Stückkostenfunktion lautet S(x) = K(x)/x (Ist das klar?)
S(x) = K(x) / x mit x > 0 da K(0)/0 nicht definiert ist
= (2*x^3 - 5*x + 400) / x
= 2*x^2 - 5 + 400/x
= 2*x^2 + 400*x^-1 -5

hihi, ich wollte mal wissen, wie das mit dem Zitieren funktioniert.
 
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Princess82 schrieb:
Wie funktioniert das nur mit dem Zitieren...ich bin das 1.Mal in so einem Forum...ich finde es schon noch raus.😉
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Bei jedem Beitrag gibt es unten rechts ein paar Symbole. Das zweite von links von denen heißt "Mit Zitat antworten", wenn Du das anklickst geht das Antwortfenster auf mit dem Beitrag als Zitat. Aus diesem Zitat löscht Du dann die Passagen heraus, die nicht in Deiner Antwort zitiert werden sollen (meist will man nur bestimmte Sätze zitieren, es wird sonst bei grösseren Vorlagen auch zu viel Text)

Liebe Grüße
 
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S(x) = K(x)/x = 2*x^2 - 5 + 400*x^-1

1. Ableitung S'(x) = 4*x - 400 x^-2

Princess82 schrieb:
Warum wird das Plus denn zum Minus?
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Aus dem + wird im Zuge der Ableitung ein -
a * x^b abgeleitet nach x ist b * a * x^(b-1)
400 * x^-1 abgeleitet nach x ist demnach -1 * 400 * x^-2 = -400 * x^-2

Princess82 schrieb:
"(1 - 100*x^-3)"...wie du darauf kommst, weiß ich leider auch nicht.
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bei 4 * x - 400 * x^-2 kannst Du 4 * x "ausklammern": 4 * x * (1 - 100 * x^-3)

Probe durch "ausmultiplizieren":
4 * x * (1 - 100 * x^-3)
= 4 * x - 4 * x * 100 * x^-3
= 4 * x - 400 * x^-2

Beachte die Potenzregel: (x^a) * (x^b) = x^(a+b) für beliebige a, b (auch negative)
Also wie oben gebraucht : x * x^-3 = x^1 * x^-3 = x^(1-3) = x^-2

Liebe Grüße
 
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ChrissiLLB schrieb:
Aufgabe 1 und 2 siehe erster Beitrag oben ist "Input" von Princess82, sie studiert nicht in Hagen. Thematisch ist das Produktions- und Kostentheorie (Stückkosten, Gewinnmaximum) aus einer Anfängervorlesung.
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Ja, genau. Diese Aufgaben, die wir hier bearbeitet haben, sind exemplarische Klausuraufgaben. Es ist kleiner Teilbereich aus den Vorlesungen "Finanzmathematik und Invetsitionsrechnung".

uijuijui, ich schreibe am Mo. Wirtschaftsrecht, Di. BWL um am Mi. halt Mathe. Ich hoffe, ich bekomme es hin...ich lerne aber fleißig.🙂

Und ihr "genießt" also ein 100%iges "Selbststudium"?? Habe ich das richtig verstanden?
 
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Princess82 schrieb:
Und ihr "genießt" also ein 100%iges "Selbststudium"?? Habe ich das richtig verstanden?
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Selbststudium finde ich irreführend, besser Fernstudium (so auch die offizielle Bezeichnung). Bezüglich der "Stoffvermittlung" in Modulen unterscheidet es sich nicht von einem Präsenzstudium bei der es zu einem Modul ein "100%-Skript" gibt und damit die Vorlesung im Hörsaal sehr an Wichtigkeit/Notwendigkeit/Mehrwert verliert.

Liebe Grüße
 
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Ich hatte auch die Überlegung, ein Fernstudium zu machen. Letztlich habe ich mich dann doch für das "Präsenzstudium" entschieden. Ich denke, ein absolviertes Fernstudium wird von Arbeitgebern auch als sehr positiv erachtet. Dennoch ist das Fernstudium, denke ich, (sicherlich abhängig vom "Fernstudium-Anbieter"), eine kostspielige Angelegenheit.

Nun ja, es hat alles Vor- und Nachteile... es ist aber schön, dass man als Studierende/r auch über das Medium Internet nette Leute kennen lernt, die bereit sind, einem zu helfen.

Liebe Grüße
 
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ChrissiLLB schrieb:
Das Minimum der Stückkostenfunktion ist bei x mit S'(x) = 0 falls S''(x) > 0 (klar?)
S'(x) = dS/dx
= 4*x - 400*x^-2
= 4*x*(1 - 100*x^-3)
= 0
[bei x = 0 (da ist S aber nicht definiert, beachte oben x > 0) und]
bei 1 - 100*x^-3 = 0, d.h. x = 100^(1/3) ("Dritte Wurzel aus 100")

S''(x) = 4 + 2*400*x^-3 > 0 für jedes x, d.h. es liegen tatsächlich Minima vor

Die totalen Stückkosten sind also minimal bei x = 100^(1/3) = 4,642 gerundet
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Hallo Chrissi,

das, was ich rot markiert habe, kann ich irgendwie noch nicht nachvollziehen. 😕

...und dann hast du nochmal die 2. Ableitung gebildet. Wie du auf die 2. Ableitung gekommen bist, habe ich auch nicht verstanden.

Liebe Grüße
 
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Princess82,

Naja, die Frage ist 4*x*(1 - 100*x^-3) = 0 für welche x?

1. Lösung: x = 0, denn 4*0*(1 - 100*0^-3) = 0 klar?

2. Lösung: Das Produkt ist 0 wenn (1 - 100*x^-3) = 0 klar?
1 - 100*x^-3 = 0 wenn x = 100^(1/3), Probe durch einsetzen:
1 - 100*(100^(1/3)^-3) = 1 - 100*(100^(1/3 * -3)) = 1 - 100*(100^-1) = 1 - 100/100 = 1- 1 = 0

Die zweite Ableitung von S ist die erste Ableitung von S' (der ersten Ableitung von S)

Weil S'(x) = 4 * x - 400 * x^-2
gilt mit den Ableitungsregeln S''(x) = 4 + 2 * 400 x^-3

Liebe Grüße
Chrissi

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ChrissiLLB schrieb:
Die zweite Ableitung von S ist die erste Ableitung von S' (der ersten Ableitung von S)

Weil S'(x) = 4 * x - 400 * x^-2
gilt mit den Ableitungsregeln S''(x) = 4 - 2 * 400 x^-3


Beachte:
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Okay, ich dank dir! In der 2. Ableitung müsste es aber auch ein "-" sein, richtig?! Denn oben steht ein "+"

Ui, morgen ist Mathe dran, bin mal gespannt...ich bin aber optimistisch ;o)
Aber dann ist auch ERSTMAL genug mit der Klausuren-Schreiberei!!!

Liebe Grüße
 
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