grenzrate der substitution - wie berechnen?

Cordula,

Hochzeichen:

1. Taste oben links unter der Esc-Taste einmal drücken. Achtung: Das Hochzeichen wird noch nicht ausgedruckt, nur gepuffert.

2. Die Zahl für den Exponenten drücken

Liebe Grüße

cordula77 schrieb:

die substitutionale produktionsfunktion lautet:

M (r1,r2) = 4 r(1) hoch 2 * r(2)

q1=6 ; q2=4

(by the way, wo kriege ich die "hochzeichen" her?)

die grs gibt ja an, was zusätzlich von einem rohstoff hinzugeben muss,
wenn ich den anderen dafür reduziere.

kann mir bitte jemand an hand der Aufgabe oben erklären,
wie man sie berechnet?

liebe grüße, cordula

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Gegeben: M = 4 * r1^2 * r2

A) Gesucht: Grenzrate der Substitution GRS2,1 von Gut 2 durch Gut 1

A1) r2-Isoquante r2 = ... bilden

r2 = 1/4 * M * r1^-2

A2) Die Grenzrate der Substitution GRS2,1 von Gut 2 durch Gut 1 ist die Ableitung dr2/dr1 der r2-Isoquante nach r1

dr2/dr1
= 1/4 * M * -2 * r1^-3
= -1/2 * M[/COLOR] * r1^-3
= -1/2 * (4 * r1^2 * r2[/COLOR]) * r1^-3 ...// M = 4 * r1^2 * r2[/COLOR] einsetzen
= -2 * r1^-1 * r2
= -2 * r2/r1

Also: GRS2,1 = dr2/dr1 = -2 * r2/r1


B) Gesucht: Grenzrate der Substitution GRS1,2 von Gut 1 durch Gut 2

B1) r1-Isoquante r1 = ... bilden

r1^2 = 1/4 * M * r2^-1

r1 = 1/2 * M^1/2 * r2^-1/2

B2) Die Grenzrate der Substitution GRS1,2 von Gut 1 durch Gut 2 ist die Ableitung dr1/dr2 der r1-Isoquante nach r2

dr1/dr2
= 1/2 * M^1/2 * -1/2 * r2^-3/2
= -1/4 * M[/COLOR]^1/2 * r2^-3/2
= -1/4 * (4 * r1^2 * r2)^1/2 * r2^-3/2 ...// M = 4 * r1^2 * r2 [/COLOR]einsetzen
= -1/2 * r1 * r2^-1
= -1/2 * r1/r2

Also: GRS1,2 = dr1/dr2 = -1/2 * r1/r2

Man erkennt: GRS1,2 und GRS2,1 sind Kehrwerte voneinander, d.h. ist die Grenzrate der Substitution des einen Faktors bekannt, ergibt sich die des anderen Faktors durch Kehrwertbildung.

Liebe Grüße

Herzlichen dank für die super erklärung.

an einer stelle komme ich nicht weiter:
[FONT=Verdana ! important]B1) r1-Isoquante r1 = ... bilden

r1^2 = 1/4 * M * r2^-1

r1 = 1/2 * M^1/2 * r2^-1/2 wie kommst du auf diese zeile?

liebe grüße,
cordula

Ah, habs gerade selber gesehen!

Aber wo kommen denn jetzt die q1 und q2 unter???

cordula77 schrieb:

aber wo kommen denn jetzt die q1 und q2 unter???

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Für die Berechnung der Grenzrate der Substitution GRS in einem beliebigen Punkt (r1, r2) einer Indifferenzkurve spielen die Güterpreise q1, q2 keine Rolle.

Für die kostenminimale Faktormengenkombination (r1min, r2min) einer Produktionmenge, d.h. dem Punkt einer Indifferenzkurve, in dem die Kosten minimal sind, gilt jedoch folgender Zusammenhang:

GRS1,2(r1min, r2min) = -1/2 * r1/r2 = -q2/q1

Im Kostenminimum gilt also:

-1/2 * r1/r2 = -q2/q1

-1/2 * r1 = r2 * -q2/q1

r2 = -q1/q2 * -1/2 * r1 = 1/2 * q1/q2 * r1 = 1/2 * 6/4 * r1 = 3/4 * r1

r2 = 3/4 * r1 (sog. "Expansionspfad")

Für jede Menge r1 ist jene Menge r2 = 3/4 * r1 bestimmt, mit der die Ausbringsmenge M = 4 * r1^2 * r2
kostenminimal produziert werden kann.

Siehe EBWL KE 1 Seite 104/105.

Liebe Grüße

Okay, danke. du kannst nicht zufällig den expansionspfad und die einsatzmenge bei einem output von 3000 ME und die minimalen kosten mit r1= 10 und r2= 7,5 ausrechnen?

ich hoffe, ich wirke nicht unverschämt. stehe momentan mit den aufgaben auf dem schlauch. 😱(

liebe grüße,
cordula

Im Kostenminimum gilt:

GRS1,2(r1min, r2min) = -1/2 * r1/r2 = -q2/q1 (siehe Beitrag #7)

-1/2 * r1/r2 = -q2/q1

-1/2 * r1 = r2 * -q2/q1

r2 = -q1/q2 * -1/2 * r1 = 1/2 * q1/q2 * r1 = 1/2 * 6/4 * r1 = 3/4 * r1

r2 = 3/4 * r1 (sog. "Expansionspfad")

Gesucht: Minimale Kosten für die Ausbringungmenge M = 3000

M
= 3000
= 4 * r1^2 * r2
= 4 * r1^2 * (3/4 * r1) ....// Im Kostenminimum gilt r2 = 3/4 * r1 (siehe oben Expansionspfad)
= 3 * r1^3

Jetzt nach r1 auflösen:

r1 = (1/3 * 3000)^1/3 = 10

r2 = 3/4 * r1 = 3/4 * 10 = 7,5

Also: Die Ausbringungsmenge M = 3000 wird kostenmininmal mit r1 = 10 und r2 = 7,5 produziert.

Minimale Kosten: K = q1 * r1 + q2 * r2 = 6 * 10 + 4 * 7,5 = 90

Also: Die Ausbringungsmenge M = 3000 wird kostenminmal mit r1 = 10 und r2 = 7,5 zu den Kosten K = 90 produziert.

Liebe Grüße

Herzlichen dank für deine erklärung!
hänge noch etwas mit dem nachrechnen hinterher.

liebe grüße, cordula

In der Lösung steht, dass die isoquantengleichung M/4*r(1)^-2 sein soll und grs (2,1) soll dann -m/2*r(1)°-3 sein.

meine fragen dazu: warum wird die gleichung nicht auf eine linie gebracht und deshalb bleiben bei der isoquantengleichung die
4 unter dem M und es heißt nicht 1/4M+r(1)^-2. da beides aufs gleiche rauskommt ist es vielleicht nicht so entscheidend, aber
nach der rechnung oben ist grs (2,1)=-2*r(1)^-1*r(2) und das ist nicht das gleiche wie -m/2*r(1)^-3.

wo liegt der unterschied?

liebe grüße, cordula

Kannst du noch bitte nochmal was zu der expansionspfad berechnung sagen?
ich verstehe nicht, woher du den das [FONT=Verdana ! important]1/2 * r1/r2 = -q2/q1 hast!

cordula77 schrieb:

kannst du noch bitte nochmal was zu der expansionspfad berechnung sagen?
ich verstehe nicht, woher du den das [FONT=Verdana ! important]1/2 * r1/r2 = -q2/q1 hast!

Zum Vergrößern anklicken....

Im Kostenminimimum gilt immer GRS1,2 = dr1/dr2 = -q2/q1 (siehe EBWL KE 1)

Da wir weiter oben bereits berechnet haben: GRS1,2 = dr1/dr2 = 1/2 * r1/r2 (Beitrag #3) gilt also:

GRS1,2 = dr1/dr2 = -q2/q1[/COLOR]

1/2 * r1/r2 = -q2/q1[/COLOR]

Liebe Grüße

Sorry, habs irgendwie übersehen. jetzt ist es mir auch klar.
kannst du noch etwas zu den verschiedenen lösungen sagen?

cordula77 schrieb:

aber
nach der rechnung oben ist grs (2,1)=-2*r(1)^-1*r(2) und das ist nicht das gleiche wie -m/2*r(1)^-3.

wo liegt der unterschied?

liebe grüße, cordula

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Ich bin nur einen Schritt weiter gegangen als die Lösung in der KE. Setze M = 4 * r1^2 * r2 in -M/2 * r1^-3 ein:

-M/2 * r1^-3
= (4 * r1^2 * r2)/2 * r1^-3
= 4/2 * r1^(2-3) * r2
= 2 * r1^-1 * r2

Liebe Grüße