Hyperebenen

mifri58 schrieb:

1x1+2x2-3x3+4x4 stellt die Gleichung einer Hyperebene im R4 da.

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Das ist keine Gleichung. Vielleicht soll das [tex]1x_1 + 2x_2 - 3x_3 + 4x_4 = 0[/tex] heißen?

Die Hyperebene ist doch immer eine Dimension kleiner als der ursprüngliche Vektorraum.

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Ist sie doch auch. Zumindest ist sie nicht gleich dem [tex]\mathbb{R}^4[/tex], da es Vektoren [tex](x_1, x_2, x_3, x_4)^T[/tex] gibt, für die die Gleichung nicht erfüllt ist, z.B. ganz einfach [tex](0, 0, 0, 1)^T[/tex].

danke für deine Hilfe. Deine Gleichung ist natürlich richtig. Ich bekomme sie hier einfach nicht so schön dargestell.

Dann ist meine Sicht also falsch. Ich bin von folgendem ausgegangen und fasse mal zusammen:
Ich befinde mich im R4, das heißt vier Variable.
Die erste Hyperebene des R4 kann dann nur der R3 sein, also muß die Gleichung des Hyperraumes aus dem R3 kommen, dass heißt drei Variable.
Sollten drei Hyperraumgleichung gegeben sein befindet sich der mengentheoretische Durchschnitt, also die Punkte, welche für alle Geraden gelten im R1, also auf einer Geraden.
Hier habe ich jetzt schon wieder ein Problem, wie rechne ich denn die Punkte aus.
Im degenerierten Hyperraum ist das ja nicht das Problem, da gibt es nur einen Punkt. Aber bei im R1 bräucht ich doch sowas wie eine Geradengleichung, oder...?

Mit freundlichen Grüßen
Michael

mifri58 schrieb:

Deine Gleichung ist natürlich richtig. Ich bekomme sie hier einfach nicht so schön dargestell.

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Oh ich meinte das gar nicht wegen der Hübschheit, an [tex]\LaTeX[/tex] muss man sich ja auch rantrauen 😉 aber es fehlte halt irgendeine Aussage, wozu denn der Term gleich sein soll. Das "=0" ist jetzt auch nur geraten von mir 😉

Ich befinde mich im R4, das heißt vier Variable.

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Ja.

Die erste Hyperebene des R4 kann dann nur der R3 sein, also muß die Gleichung des Hyperraumes aus dem R3 kommen, dass heißt drei Variable.

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Der [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ist der Raum der reellen Spaltenvektoren mit 3 Komponenten, [tex]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}[/tex], also keine Teilmenge des [tex]\mathbb{R}^4[/tex]. Eine Hyperebene des [tex]\mathbb{R}^4[/tex] ist lediglich ein 3-dimensionaler Unterraum. Das ist gleichbedeutend, dass sie eine Basis aus 3 Vektoren hat. Diese Vektoren haben aber 4 Komponenten.

Sollten drei Hyperraumgleichung gegeben sein befindet sich der mengentheoretische Durchschnitt, also die Punkte, welche für alle Geraden gelten im R1, also auf einer Geraden.

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Genau.

Hier habe ich jetzt schon wieder ein Problem, wie rechne ich denn die Punkte aus.
Im degenerierten Hyperraum ist das ja nicht das Problem, da gibt es nur einen Punkt. Aber bei im R1 bräucht ich doch sowas wie eine Geradengleichung, oder...?

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Ich weiß leider nicht, was ein degenerierter Hyperraum ist. Sowas wie eine Geradengleichung bekommst du, wenn du das Gleichungssystem löst. Sofern diese Hyperebenen nicht irgendwie zusammenfallen oder ähnliches (also sich wirklich eine Gerade als Durchschnitt ergibt) ist die Lösung ja ein Vektorraum der Form [tex]\{ \lambda \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\}[/tex], und sehr viel besser als so kannst du die Gerade auch nicht angeben. So Geradengleichungen wie [tex]a_1 x_1 + a_2 x_2 = 0[/tex] im [tex]\mathbb{R}^2[/tex] gibts halt im Allgemeinen nicht, das funktioniert nur, weil Geraden gerade die Hyperebenen des [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sind.

Ich hab jetzt zwar das Gefühl, dass ich irgendwas beantwortet habe, nur nicht deine Fragen, aber ich hoffe, es hilft trotzdem ein bisschen

es hilft sogar ungemein, vielen Dank für die umfassende Erklärung. Ich bekomme sie nur noch nicht so ganz mit dem Skript übereinander. Liegt wahrscheinlich an der Formulierung im Skript:
Da steht, (obige Gleichung) 1x1+2x2-3x3+4x4-6=0 ist eine Hyperebene im R4. Dann kann die Hyperebene doch nur, wenn ich dich richtig verstanden habe, der R3 sein. Weil R3 Unterraum/Hyperebene vom R4 d.h 3 Basisvektoren mit 4 Komponenten im R3.

Degenerierter Hyperraum ist laut Skript ein Punkt. Deshalb nahm ich an, das der über Gauß einfach zu berechnen ist.

mifri58 schrieb:

Da steht, (obige Gleichung) 1x1+2x2-3x3+4x4-6=0 ist eine Hyperebene im R4. Dann kann die Hyperebene doch nur, wenn ich dich richtig verstanden habe, der R3 sein.

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Nein, nicht "der [tex]\mathbb{R}^3[/tex]", sondern ein 3-dimensionaler Unterraum des [tex]\mathbb{R}^4[/tex].

Der [tex]\mathbb{R}^3[/tex] besteht aus allen Vektoren der Form [tex]\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}[/tex], der [tex]\mathbb{R}^4[/tex] aus allen der Form [tex]\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \end{pmatrix}[/tex]. Wie man leicht sieht, schließt sich das gegenseitig aus, der [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ist also kein Unterraum des [tex]\mathbb{R}^4[/tex].

danke, jetzt kann ich etwas mit der Hyperebene anfangen.
Mein Fehler war, dass diese bei mir gedanklich immer ein reiner "R3" gewesen ist und ich deshalb nie die Verbindung vom z. B. R4 auf den R3 hinbekommen habe.
Dabei ist die Erklärung 3- dimensionaler Unterraum des R4 so einfach.

Michael